Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Capítulo 4
Compactificação de Poincaré e de
Poincaré-Liapunov
Quando estudamos um campo de vetores, em muitos casos é importante analisar o seu comportamento
no infinito. No caso de campos de vetores polinomiais este estudo pode ser feito
de duas maneiras, mais especificamente, podemos estender o campo de vetores em um Disco
de Poincaré ou em um Disco de Poincaré-Liapunov. No primeiro caso compactificamos o R 2
acrescentando um círculo, já no segundo estendemos o campo de vetores polinomial para um
campo analítico definido em uma esfera. Vamos descrever primeiramente como estender o R 2
por uma Esfera de Poincaré.
4.1 Projeção Estereográfica e Compactificação de Poincaré
O comportamento de trajetórias distantes da origem pode ser estudado considerando o comportamento
de trajetórias próximas de um ponto no infinito, isto é, próximas do pólo norte da
esfera unitária utilizando-se a Projeção Estereografica (ver figura 4.1). Tal ponto geralmente
representa uma singularidade muito complicada para o fluxo induzido na esfera.
Figura 4.1: Projeção Estereográfica.
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