Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

A idéia de analisar o comportamento global de sistemas dinâmicos planares usando a
projeção estereográfica se deve a Bendixson; deste fato diz-se que a esfera, incluindo a singularidade
no infinito, é chamada de Esfera de Bendixson.
Entretanto, a melhor forma de estudar o comportamento de trajetórias “no infinito”é
usando, a Esfera de Poincaré, onde a projeção é feita do centro da esfera
S 2 = {(X, Y, Z) ∈ R 3 ; X 2 + Y 2 + Z 2 = 1}
no plano (x, y) tangente a S 2 em um de seus pólos.
Figura 4.2: Projeção Central.
Este tipo de projeção central foi introduzido por Poincaré e tornou-se melhor porque as
singularidades no infinito são estendidas ao longo do equador da esfera e são, por essa razão, de
natureza mais simples de que o único ponto no infinito da Esfera de Bendixson; mas salientamos
que mesmo assim, o comportamento dos pontos no equador da Esfera de Poincaré pode ser
complicado.
Se o plano (x, y) estiver tangenciando o pólo norte da esfera S 2 , então por uma relação de
congruência de triângulos, teremos que (ver figura 4.4)
x = X Z
e y = Y Z . (4.1)
Da mesma forma
X =
x
√
1 + x2 + y 2 , Y =
y
√
1 + x2 + y e Z = 1
√ 2 1 + x2 + y .
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