Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

dividir uma vizinhança da origem em 2(m + 1) setores de vários tipos. O número de setores
elípticos menos o número de setores hiperbólicos é sempre um número par.
Por exemplo, o sistema quadrático homogêneo
{
ẋ = x 2 + xy
ẏ = 1 2 y2 + xy
tem o retrato de fase mostrado na figura 2.14 abaixo. Existem dois setores elípticos e dois
setores parabólicos na origem. Todos os tipos possíveis de retratos de fase para sistemas
quadráticos homogêneos foram classificados pelo matemático russo L.S. Lyagina [Ly]. Para
maiores informações sobre o assunto, ver [N/S].
Figura 2.14:
parabólicos.
Uma singularidade não-hiperbólica com dois setores elípticos e dois setores
2.3 Teoria da Variedade Central
Vamos agora adicionar um resultado importante que estabelece a existência de uma variedade
central W C (0, 0) tangente a E C na origem.
Teorema 2.27 (Variedade Central). Seja X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial.
Suponhamos que X(0, 0) = (0, 0) e que JX(0, 0) tem k autovalores com parte real negativa; j
autovalores com parte real positiva e m = 2 − k − j autovalores com parte real zero. Então
existe uma variedade central m-dimensional W C (0, 0) tangente ao subespaço central E C do
sistema não linear (2.5) em (0, 0), uma variedade estável k-dimensional W S (0, 0) tangente
ao subespaço estável E S do sistema não linear (2.5) em (0, 0) e uma variedade instável j-
dimensional W U (0, 0) tangente ao subespaço instável E U do sistema não linear (2.5) em (0, 0).
Além disso, W C (0, 0),W S (0, 0) e W U (0, 0) são invariantes pelo fluxo ϕ do sistema linear (2.4).
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