Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Figura 4.5: Projeção de S 2 nos planos X = 1 e Y = 1.
Teorema 4.2. O fluxo definido pela equação (4.5) em uma vizinhança de uma singularidade
no equador da Esfera de Poincaré S 2 , exceto os pontos (0, ±1, 0), é topologicamente equivalente
à singularidade definida pelo sistema
{
±ẏ = yz m p( 1 z , y z ) − zm q( 1 z , y z )
±ż = z m+1 p( 1 z , y z ) , (4.11)
sendo que o sinal é determinado pelo fluxo no equador de S 2 segundo o comentário após o
Teorema 4.1. Da mesma forma, o fluxo definido pela equação (4.5) em uma vizinhança de uma
singularidade no equador de S 2 , exceto nos pontos (±1, 0, 0), é topologicamente equivalente ao
fluxo definido pelo sistema
sendo que o sinal é determinado como acima.
{
±ẋ = xz m p( 1 z , x z ) − zm q( 1 z , x z )
±ż = z m+1 p( 1 z , x z ) , (4.12)
Demonstração: Para demonstrar este teorema basta observar que se projetarmos o fluxo em
S 2 definido pela equação (4.5) sobre o plano X = 1 teremos que X = 1 e dX = 0 e da mesma
forma, a projeção do fluxo sobre o plano Y = 1 acarreta que Y = 1 e que dY = 0; daí então
basta operarmos com a expressão (4.5) para obtermos as expressões (4.11) e (4.12)
Exemplo 4.3. Descreva o fluxo na Esfera de Poincaré S 2 definido pela projeção do sistema
planar {
ẋ = x
ẏ = −y .
Este sistema linear tem uma sela na origem, a qual corresponde à única singularidade do
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