Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

termo não linear. Além disso, podemos encontrar exemplos onde a adição de termos não lineares
faz com que o centro se torne um centro-foco; e o próximo teorema mostra que estas são as
únicas possibilidades. (Provado em [P])
Teorema 2.20. Seja X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial com X(0, 0) = (0, 0).
Suponhamos que a origem é um centro para o sistema linear (2.4) com A = JX(0, 0). Então a
origem pode ser um centro, um centro-foco, ou um foco para o sistema não linear (2.5).
Demonstração: Podemos assumir que a matriz A = JX(0, 0) tenha sido transformada na
seguinte forma canônica
A =
[
0 −b
b 0
com b ≠ 0. Assuma b > 0; caso contrário, podemos aplicar a transformação linear t → −t. O
sistema não linear (2.6) então tem a forma
Como X é diferenciável, segue que
{
∣
∣ p(x,y)
r
]
ẋ = −by + p(x, y)
ẏ = bx + q(x, y)
∣ → 0 e
∣
∣ q(x,y)
r
q = O(r) quando r → 0. Assim, em coordenadas polares temos,
ṙ = O(r) e ˙θ = b + O(r)
.
∣ → 0 quando r → 0; isto é, p = O(r) e
quando r → 0. Por isso, existe um δ > 0 tal que ˙θ ≥ b > 0 para 0 < r < δ. Assim,
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para 0 < r 0 < δ e θ 0 ∈ R, θ(t, r 0 , θ 0 ) ≥ bt + θ 2 0 → ∞ quando t → ∞; e θ(t, r 0 , θ 0 ) é uma
função monótona crescente de t. Seja t = h(θ) a inversa desta função monótona. Defina
˜r(θ) = r(h(θ), r 0 , θ 0 ) para 0 < r 0 < δ e θ 0 ∈ R. Então ˜r satisfaz a equação diferencial (2.8) que
tem a seguinte forma
dr
dθ
= F (r, θ) =
cosθp(˜rcosθ,
˜rsenθ) + senθq(˜rcosθ, ˜rsenθ)
b + (cosθ/˜r)q(˜rcosθ, ˜rsenθ) − (senθ/˜r)p(˜rcosθ, ˜rsenθ) .
Suponha que a origem não é um centro nem um centro-foco para o sistema (2.6). Então para
δ > 0 suficientemente pequeno, não existem trajetórias fechadas de (2.6) numa determinada
vizinhança N δ (0, 0) − {(0, 0)}. Assim, para 0 < r 0 ≤ δ e θ 0 ∈ R, tanto ˜r(θ 0 + 2π) < ˜r(θ 0 )
quanto ˜r(θ 0 + 2π) > ˜r(θ 0 ). Vamos assumir que o primeiro caso ocorre. O segundo caso é
tratado de maneira semelhante. Se ˜r(θ 0 + 2π) < ˜r(θ 0 ) então ˜r(θ 0 + 2kπ) < ˜r(θ 0 + 2(k − 1)π)
para k = 1, 2, 3, ... Por outro lado, teremos três trajetórias de (2.6) passando pelo mesmo ponto,
o que é impossível. A seqüência ˜r(θ 0 + 2kπ) é monótona decrescente e limitada inferiormente
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