Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Quando {y ≠ 0}, (3.2) também será o mesmo que o “blow-up”polar, a menos de uma
mudança analítica de coordenadas: θ ≠ 0, π.
(θ, r) → (cotgθ, rsenθ) → (cotgθrsenθ, rsenθ) = (rcosθ, rsenθ).
Neste caso, com j k (X(0, 0)) = (0, 0) e j k+1 (X(0, 0)) ≠ (0, 0) podemos ganhar informações
considerando ¯X como
¯X = 1 r k ˆX.
Então ¯X também é um campo de vetores sobre S 1 × R. Esta divisão não altera as órbitas
de ˆX, nem os seus sentidos, mas somente a parametrização por t.
Para o “blow-up”direcional usamos
1
ˆx k ˆX x no caso (3.1) e 1 ŷ k ˆX y no caso (3.2). Quando
{x ≠ 0},
1
ˆr k ˆX e 1ˆx k ˆX x são os mesmos a menos de uma mudança analítica de coordenadas e de
uma multiplicação por uma função analítica positiva.
Vamos analisar dois exemplos.
Exemplo 3.1. Neste exemplo, onde vamos utilizar um “blow-up”, obteremos facilmente o
retrato de fase numa vizinhança da singularidade.
{
ẋ = x 2 − 2xy
ẏ = y 2 − xy
Tomando x = rcosθ e y = rsenθ, no sistema acima, teremos
{
. (3.3)
ẋ = ṙcosθ − rsenθ ˙θ . (3.4)
ẏ = ṙsenθ + rcosθ ˙θ
Agora substituindo x = rcosθ e y = rsenθ no sistema (3.3), teremos
{
ẋ = r 2 cos 2 θ − 2r 2 cosθsenθ
ẏ = r 2 sen 2 θ − r 2 senθcosθ
. (3.5)
Assim, igualando (3.4) a (3.5), temos
{
ṙcosθ − rsenθ ˙θ = r 2 cos 2 θ − 2r 2 cosθsenθ
ṙsenθ + rcosθ ˙θ = r 2 sen 2 θ − r 2 senθcosθ
.
O que precisamos é encontrar ṙ e ˙θ. Para encontrarmos ṙ multiplicamos a primeira equação
acima por cosθ e a segunda por senθ. E para encontrarmos ˙θ multiplicamos a primeira equação
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