Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

e
E U = [{u j , v j }/a j > 0]
isto é, E S ,E U
e E C são os subespaços de R 2 gerados pelas partes real e imaginárias dos autovetores
generalizados w j correspondentes aos autovalores λ j com partes real negativa, nula e
positiva, respectivamente.
As variedades S e U tem a mesma dimensão de E S e E U , e se ϕ é o fluxo do sistema não
linear (2.1), então S e U são positiva e negativamente invariantes por ϕ, respectivamente e
satisfazem
e
lim ϕ(t, (c 1, c 2 )) = (x 0 , y 0 ), ∀(c 1 , c 2 ) ∈ S
t→∞
lim ϕ(t, (c 1, c 2 )) = (x 0 , y 0 ), ∀(c 1 , c 2 ) ∈ U.
t→−∞
Vamos apresentar estas idéias com um exemplo. Assumiremos que a singularidade (x 0 , y 0 ) está
localizada na origem. Se este não for o caso, podemos transladar (x 0 , y 0 ) para a origem.
Teorema 2.2 (Variedade Estável). Seja X : R 2
→ R 2 um campo vetorial polinomial e
ϕ o fluxo do sistema não linear (2.1) associado a X. Suponhamos que X(0, 0) = (0, 0) e que
JX(0, 0) tenha k autovalores com parte real negativa e 2−k autovalores com parte real positiva.
Então, existe uma variedade k-diferenciável S tangente ao subespaço E S do sistema linear (2.2)
na origem tal que para todo t ≥ 0, ϕ t (S) ⊂ S e para todo (x, y) ∈ S
lim ϕ(t, (x, y)) = (0, 0).
t→∞
Analogamente, existe uma variedade (2 − k)-diferenciável U tangente ao subespaço E U
sistema linear (2.2) na origem tal que para todo t ≤ 0, ϕ t (U) ⊂ U e para todo (x, y) ∈ U
do
Exemplo 2.3. Consideremos o sistema
{
lim ϕ(t, (x, y)) = (0, 0).
t→−∞
ẋ = p(x, y) = ax + by + φ(x, y)
ẏ = q(x, y) = cx + dy + ψ(x, y) ,
isto é, (
ẋ
ẏ
)
=
(
a
c
b
d
) (
x
y
)
+
(
φ(x, y)
ψ(x, y)
)
.
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