Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

por zero; além disso, o seguinte limite existe e é não negativo:
˜r 1 = lim
k→∞
˜r(θ 0 + 2kπ).
Se ˜r 1 = 0, então ˜θ → 0 quando θ → ∞; isto é, r(t, r 0 , θ 0 ) → 0 e θ(t, r 0 , θ 0 ) → ∞ quando t → ∞
e a origem é um foco estável para (2.6). Se ˜r 1 > 0, então tomando | ˜F (r, θ)| ≤ M para 0 ≤ r ≤ δ
e 0 ≤ θ ≤ 2π, a seqüência ˜r(θ 0 + θ + 2kπ) é equicontínua em [0, 2π].
Além disso, pelo Lema de
Áscoli e pelo Teorema 7.25 em [R] existe uma subseqüência
convergente uniforme ˜r(θ 0 + θ + 2kπ) convergindo para uma solução ˜r 1 (θ) que satisfaz ˜r 1 (θ) =
˜r 1 (θ 0 + 2kπ); isto é, ˜r 1 (θ) é uma solução periódica não nula de (2.8). Isto contradiz o fato de
que não existem trajetórias de (2.6) em N δ (0, 0) − {(0, 0)} quando a origem não é um centro
ou um centro foco de (2.6). Portanto, a origem não é um centro ou um centro-foco de (2.6),
˜r 1 = 0 e a origem é um foco para (2.6).
Definição 2.21. O sistema (2.6) é dito simétrico com respeito ao eixo-x se ele é invariante
pela transformação (t, y) → (−t, −y), em outras palavras, ϕ(t, (x, y)) = −ϕ(−t, (x, −y)); ele é
simétrico com respeito ao eixo-y se ele é invariante pela transformação (t, x) → (−t, −x), em
outras palavras, ϕ(t, (x, y)) = −ϕ(−t, (−x, y)).
Note que o sistema no exemplo (2.4) é simétrico com respeito ao eixo-x, mas não com
respeito ao eixo-y.
Teorema 2.22. Seja X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial com X(0, 0) = (0, 0). Se o
sistema não linear (2.5) é simétrico com respeito ao eixo-x ou ao eixo-y, e se a origem é um
centro para o sistema linear (2.4) com A = JX(0, 0), então a origem é um centro para o sistema
não linear (2.5).
A idéia da prova deste teorema que pode ser vista em [Pe] é a mesma do teorema anterior:
qualquer trajetória de (2.6) em N δ (0, 0) que cruza o eixo positivo x vai sempre cruzar o eixo
negativo x. Se o sistema (2.6) é simétrico com respeito ao eixo-x, então as trajetórias de (2.6)
em N δ (0, 0) vão ser simétricas com respeito ao eixo-x e daí, todas as trajetórias de (2.6) em
N δ (0, 0) vão ser fechadas; isto é, a origem vai ser um centro para (2.6).
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