Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Segue deste teorema que se p e q começam com termos de grau um, isto é,
p 1 (x, y) = ax + by e q 1 (x, y) = cx + dy
com a, b, c, d ≠ 0, então as únicas direções possíveis na qual as trajetórias podem se afastar da
origem são dadas por direções que satisfazem
bsen 2 θ + (a − d)senθcosθ − acos 2 θ = 0. (2.9)
Para cosθ ≠ 0, isto é, se b ≠ 0, esta equação é equivalente a
btg 2 θ + (a − d)tgθ − c = 0. (2.10)
Esta equação tem ao menos duas soluções θ ∈ ( −π
2 , π 2
]
e se θ = θ1 é uma solução, então
θ = θ 1 ± π também são soluções. Encontrar as soluções de (2.10) é equivalente a encontrar as
direções determinadas pelos autovetores da matriz
A =
[
a
c
O próximo teorema segue imediatamente do Teorema da Variedade Estável e do Teorema de
Grobman-Hartman. Ele estabelece que se a origem é um ponto hiperbólico para o sistema não
linear (2.5), então existe uma sela topológica para (2.5) se, e somente se, é uma sela para a sua
linearização na origem. Além disso, as direções θ j ao longo de cada separatriz γ j que se afasta
da origem são soluções de (2.9).
Teorema 2.16. Seja X : R 2 → R 2 um campo polinomial vetorial do sistema não linear (2.5),
com a origem sendo uma singularidade hiperbólica. Então a origem é uma sela topológica para
(2.5) se, e somente se, a origem é uma sela para o sistema linear (2.4) com A = JX(0, 0).
Exemplo 2.17. De acordo com o teorema anterior, a origen é uma sela topológica ou uma sela
b
d
]
.
para o sistema não linear {
ẋ = x + 2y + x 2 − y 2
ẏ = 3x + 4y − 2xy
visto que o determinante da parte linear é −2. Além disso, as direções nas quais as separatrizes
se aproximam da origem quando t → ±∞ são dados pelas soluções de (2.10):
2tg 2 θ − 3tgθ − 3 = 0
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