Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

e
˙θ = 1.
Assim, r(t) = r 0 (1−2r0t) 2 −1/2 para t < 1/(2r0) 2 e θ(t) = θ 0 +t. Vemos que r(t) → 0 e |θ(t)| → ∞
quando t → −∞. O retrato de fase para este sistema não linear em uma vizinhança da origem
é um foco instável.
Vamos agora dar as definições geométricas precisas de um centro, um centro-foco, um foco
estável e instável, um nó estável e instável e de uma sela topológica para o sistema não linear
(2.7). Iremos assumir que (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 é uma singularidade isolada do sistema (2.7) que foi
transladada para a origem; r(t, r 0 , θ 0 ) e θ(t, r 0 , θ 0 ) vão denotar as soluções do sistema não linear
(2.8) com r(0) = r 0 e θ(0) = θ 0 .
Definição 2.9. A origem é chamada de centro para o sistema não linear (2.5) se existe um
δ > 0 tal que toda trajetória de (2.5) numa determinada vizinhança N δ (0, 0) − {(0, 0)} é uma
curva fechada com (0, 0) no interior.
(0,0)
Figura 2.4: centro para (2.5).
Definição 2.10. A origem é chamada de centro-foco para (2.5) se existe uma seqüência de
trajetórias fechadas γ n com γ n+1 no interior de γ n tal que γ n → 0 quando n → ∞ e tal que
toda trajetória entre γ n e γ n+1 se espirala na direção de γ n ou γ n+1 quando t → ±∞.
(0,0)
Figura 2.5: centro-foco para (2.5).
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