Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

onde p 2 e q 2 são polinômios e tem expressões que começam com termos de segundo grau em x
e y. O próximo teorema é provado na página 340 em [A].
Teorema 2.24. Consideremos a origem uma singularidade isolada para o sistema (2.12). Seja
y = θ(x) a solução da equação y + q 2 (x, y) = 0 em uma determinada vizinhança da origem
e seja a expansão da função ψ(x) = p 2 (x, θ(x)) em uma vizinhança de x = 0 com a forma
ψ(x) = a m x m + ... onde m ≥ 2 e a m ≠ 0. Então,
(1) para m ímpar e a m > 0, a origem é um nó instável,
(2) para m ímpar e a m < 0, a origem é uma sela topológica,
(3) para m par, a origem é uma sela-nó.
Agora, vamos considerar o caso em que A tenha dois autovalores nulos, isto é, detA = 0,
trA = 0, mas A ≠ 0. Neste caso é mostrado em [A], pg.356, que o sistema (2.11) pode ser
colocado na forma matricial,
{
ẋ = y
(2.13)
ẏ = a k x k [1 + h(x)] + b n x n y[1 + g(x)] + y 2 R(x, y)
onde h(0) = g(0) = 0, k ≥ 2, a k ≠ 0 e n ≥ 1. Os dois próximos teoremas estão provados nas
pgs.357 − 362 em [A].
Teorema 2.25. Seja k = 2m + 1 com m ≥ 1 em (2.13) e seja λ = b 2 n + 4(m + 1)a k . Então,
se a k > 0 a origem é uma sela topológica; se a k < 0 a origem é
(1) um foco ou um centro se b m = 0 e também se b n ≠ 0 e n > m ou se n = m e λ < 0,
(2) um nó se b n ≠ 0, n é um número par e n < m e também se b n ≠ 0, n é um número par,
n = m e λ ≥ 0,
(3) uma singularidade com domínio elíptico se b n ≠ 0, n é um número ímpar e n < m e
também se b n ≠ 0, n é um número ímpar e λ ≥ 0.
Teorema 2.26. Seja k = 2m com m ≥ 1 em (2.13). Então a origem é
(1) uma cúspide se b n = 0 e também se b n ≠ 0 e n ≥ m,
(2) uma sela-nó se b n ≠ 0 e n < m.
Vimos que se JX(0, 0) tem um autovalor zero, então a singularidade (x 0 , y 0 ) é um nó, uma
sela topológica, ou uma sela-nó; e se JX(0, 0) tem dois autovalores zero, então a singularidade
(x 0 , y 0 ) é um foco, um centro, um nó, uma sela topológica, uma sela-nó, uma cúspide, ou uma
singularidade com domínio eliptico.
Finalmente, e se a matriz A = 0 Neste caso, o comportamente próximo da origem pode
ser muito complexo. Se p e q começam com termos de grau m, então as separatrizes podem
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