Campos de Vetores Polinomiais Planares: AnÃ¡lise ... - Unesp

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o P4 primeiro considera o campo de vetores em uma carta U 1 . Este campo de vetores tem a equação X 1 : { z˙ 1 = −2z 1 − z 2 − z 1 z 2 − z2z 2 2 z˙ 2 = −z 1 z2 2 Daí, a origem é uma singularidade que é uma sela semi-hiperbólica. Depois ele vai considerar o campo de vetores em uma carta U 2 que tem a equação X 2 : cuja origem é uma singularidade não-elementar. { z˙ 1 = z 2 + z 1 z 2 + 2z2 2 + z1z 2 2 z˙ 2 = 2z 1 z 2 + z2 2 + z 1 z2 2 , . Para saber o comportamento próximo da origem deve-se fazer uma desingularização na origem, usando um “blow-up”quase-homogêneo de grau (1, 2). Este procedimento é descrito na figura 5.4. Figura 5.4: “Blow-up”do campo de vetores X 2 próximo à origem. Usando esta informação, pode-se desenhar o retrato de fase no Disco de Poincaré (ver figura 5.5). Desde que exista uma singularidade não-elementar no infinito, pode-se estudar o campo de vetores no Disco de Poincaré-Liapunov. Usando um Disco de Poincaré-Liapunov de grau (1, 2) encontra-se 4 singularidades no infinito, dois nós e duas selas semi-hiperbólicas. Usando esta informação, pode-se agora desenhar o retrato de fase no Disco de Poincaré-Liapunov de grau (1, 2) (ver figura 5.6) 112
Figura 5.5: Retrato de fase do campo de vetores X no disco de Poincaré. Figura 5.6: Retrato de fase do campo de vetores X no disco de Poincaré-Liapunov de grau (1, 2). Considere o campo de vetores X 2 : { ẋ = y − x 2 ẏ = − 1 20 − x − x2 . Estudar este campo de vetores no Disco de Poincaré-Liapunov de grau (1, 2). Usando o P4 encontra-se que ((5 + √ 30)/10, (11 + 2 √ 30)/20) é um ponto de sela e ((5 − √ 30)/10, (11 − 2 √ 30)/20) é um foco instável forte. No infinito encontram-se 4 singularidades, dois pontos na carta U 1 , o ponto (0, 0) que é um nó repulsor e (1, 0) que é uma sela-nó e dois pontos na carta U 2 , (0, 0) que é um nó atrator e (1, 0) que é uma sela-nó. Usando esta informação, pode-se agora desenhar o retrato de fase no Disco de Poincaré- Liapunov de grau (1, 2) (ver figura 5.7). Também descobre-se que o campo de vetores tem 113
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Campos de Vetores Polinomiais Plana
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Agradecimentos Ao Prof. Dr. Paulo R
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Abstract In this work we present ba
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Referências Bibliográficas 115 12
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mas logo nos convencemos da complex
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então, para 0 < a < r M que e t 0
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1.2 Primeiros Exemplos: Campos de V
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Figura 1.4: α = β < 0, α < β <
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(ii) Se [A] B = [ λ 1 0 λ ] , ent
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Se β < 0 o campo de vetores é do
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Assim, Ẏ = P Ẋ = P [ 1 −1 −
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onde p e q são polinômios de grau
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Geometricamente, temos: Figura 1.16
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Geometricamente, temos: ( 0 x 0 , y
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para todo t ≥ 0. Ainda ϕ(t, (x,
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1.6 Conjuntos α-limites e ω-limit
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Como τ é contínua, temos que lim
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Suponha que o campo X possua um nú
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e E U = [{u j , v j }/a j > 0] isto
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Portanto, temos que x(t) = e λ 1t
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Temos que o primeiro valor é dado
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espectivamente. Pode ser mostrado q
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Definição 2.5. Uma singularidade
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e ˙θ = 1. Assim, r(t) = r 0 (1−
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(0,0) Figura 2.8: sela topológica
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isto é, θ = tg −1 ( 3 ± √ )
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por zero; além disso, o seguinte l
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tem uma determinada vizinhança con
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