Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Assim,
Ẏ = P Ẋ = P [
1 −1
−2 0
] [
X = P
1 −1
−2 0
] [
P −1 Y =
2 0
0 −1
]
Y.
Logo,
(y 1 (t), y 2 (t)) = (ae 2t , be −t ).
E o fluxo é dado por
( 2x − y
ϕ(t, (x, y)) =
3
ϕ : R × R 2 → R 2
e 2t + x + y
3
e −t , 2x − y
3
e 2t + 2 x + y )
e −t .
3
Figura 1.14: campo e e −t (cost + sent, cost − sent)
2) Considere o seguinte sistema
Ẋ =
[
0 −2
1 2
]
X.
Seu polinômio característico é dado por p(λ) = λ 2 − 2λ + 2, e as raízes deste polinômio são 1 + i
e 1 − i. O autovetor complexo associado ao autovalor 1 + i é (1 + i, −i).
então
Assim,
Logo,
Consideramos a base formada pelas partes real e imaginária: B = {(1, 0), (1, −1)}. Temos
Y =
[
Ẏ = P Ẋ = P [
]
[
y 1
= P X = P
y 2
0 −2
1 2
]
X = P
] [
x 1
, P −1 =
x 2
[
0 −2
1 2
]
P −1 Y =
1 1
0 −1
[
]
.
1 −1
1 1
(y 1 (t), y 2 (t)) = (ae t cost − be t sent, be t cost + ae t sent)).
(x 1 (t), x 2 (t)) = ((a + b)e t cost + (a − b)e t sent, −be t cost − ae t sent)
]
Y.
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