Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

(0,0)
Figura 2.8: sela topológica para (2.5).
Para uma sela topológica, a variedade estável na origem é S = γ 1 ∪γ 2 ∪{(0, 0)} e a variedade
instável na origem é U = γ 3 ∪γ 4 ∪{(0, 0)}. Se a trajetória γ i se aproxima da origem ao longo de
um raio fazendo um ângulo θ i com o eixo-x onde θ i ∈]−π, π], para i = 1, ..., 4, então θ 2 = θ 1 ±π
e θ 4 = θ 3 ± π. Isto segue por consideramos as possíveis direções nas quais a trajetória de (2.5),
escritas em formas polares (2.7), pode se aproximar da origem.
Os seguintes teoremas, provados em [A], são úteis nesta observação. O primeiro teorema é
devido a Bendixson [B].
Teorema 2.14 (Bendixson). Seja X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial. Se a origem é
uma singularidade isolada de (2.5), então ou toda vizinhança da origem contém uma trajetória
fechada com (0, 0) no seu interior ou existe uma trajetória se aproximando de (0, 0) quando
t → ±∞.
Teorema 2.15. Suponhamos que p(x, y) e q(x, y) em (2.6) sejam polinômios de x e y contendo
a origem e que a Expansão de Taylor de p e q sobre (0, 0) comecem com termos de grau m
p m (x, y) e q m (x, y) com m ≥ 1. Então qualquer trajetória de (2.6) que se aproxima da origem
quando t → ∞ ou se espirala em direção à origem quando t → ∞ ou tende para a origem numa
direção definida θ = θ 0 quando t → ∞. Se xq m (x, y) − yp m (x, y) não é identicamente nulo,
então todas as direções, θ 0 , satisfazem a aquação
cosθ 0 q m (cosθ 0 , senθ 0 ) − senθ 0 p m (cosθ 0 , senθ 0 ) = 0.
Além disso, se uma trajetória de (2.6) se espiraliza em direção à origem quando t → ∞ então
todas as trajetórias de (2.6) numa determinada vizinhança da origem se espiralizam na direção
de (0, 0) quando t → ∞.
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