Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Suponha que o campo X possua um número finito de singularidades em ω(p, q). Então
temos as seguintes situações:
(a) Se ω(p, q) contém somente pontos regulares, então ω(p, q) é uma órbita periódica;
(b) Se ω(p, q) contém pontos regulares e singulares, então ω(p, q) é formado por um conjunto
de órbitas, onde cada uma delas tende a um desses pontos singulares quando t → ±∞;
(c) se ω(p, q) não contém pontos regulares, então ω(p, q) é um ponto singular.
Demonstração: (a) Por hipótese, temos que ω(p, q) tem somente pontos regulares e se
(p 1 , q 1 ) ∈ ω(p, q), então a órbita γ (p1 ,q 1 ) ∈ ω(p, q).
Sendo ω(p, q) compacto, temos que ω(γ (p1 ,q 1 )) ≠ ∅. Daí, do lema 1.14, temos que ω(p, q) =
γ (p1 ,q 1 ), que é uma órbita fechada e conseqüentemente periódica.
(b) Como, por hipótese, temos que ω(p, q) contém pontos regulares e singulares, seja γ uma
trajetória regular contida em ω(p, q). Afirmamos que ω(γ) é uma singularidade. Se ω(γ) possui
algum ponto regular (p 1 , q 1 ), tomemos uma secção transversal Σ a X, passando pelo ponto
(p 1 , q 1 ). Como γ ⊂ ω(p, q), temos pelo lema 1.13, que γ intercepta apenas um ponto. Pelo
lema 1.14, γ é uma trajetória fechada e ω(p, q) = γ. Isto é um absurdo, pois ω(p, q) possui
singularidades. Logo, ω(γ) é uma singularidade.
(c) Se ω(p, q) não contém pontos regulares, então ω(p, q) é uma singularidade, pois X tem
um número finito de singularidades e ω(p, q) é conexo.
40