Campos de Vetores Polinomiais Planares: AnÃ¡lise ... - Unesp

More documents

Recommendations

Info

isto é, θ = tg −1 ( 3 ± √ ) 33 4 e temos θ 1 ⋍ 65, 42 o , θ 3 ⋍ 34, 46 o . Em qualquer ponto do eixo positivo x perto da origem, o campo de vetores é definido por este sistema de pontos acima. Desde que ẏ > 0. Isto determina as direções do fluxo definido pelo sistema acima. O retrato de fase local para a parte linear deste campo de vetores, bem como a parte não linear, esta mostrado na figura abaixo. Figura 2.9: Uma sela para o sistema linear e uma sela topológica para o sistema não linear no exemplo 2.17. O comportamento qualitativo numa vizinhança da origem é o mesmo para cada sistema. O próximo teorema, provado em [A], mostra que como p(x, y) e q(x, y) são dois polinômios e por isso tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança da origem, podemos notar que nós e focos de um sistema linear persistem com a adição de termos não lineares. Teorema 2.18. Seja X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial. Suponhamos que a origem é uma singularidade hiperbólica de (2.5). A origem é um nó estável (instável) para o sistema não linear (2.5) se, e somente se, é um nó estável (instável) para o sistema linear (2.4) com A = JX(0, 0). E a origem é um foco estável (instável) para o sistema não linear (2.5) se, e somente se, é um foco estável (instável) para o sistema linear (2.4) com A = JX(0, 0). Observação 2.19. De acordo com o teorema anterior, segue que a origem é um nó próprio para o sistema não linear (2.5) se, e somente se, é um nó próprio para o sistema linear (2.4) com A = JX(0, 0). Os exemplos de 2.5 a 2.7 acima mostram que um centro para um sistema linear pode tanto continuar um centro quanto pode se tornar um foco estável ou instável com a adição de um 56
termo não linear. Além disso, podemos encontrar exemplos onde a adição de termos não lineares faz com que o centro se torne um centro-foco; e o próximo teorema mostra que estas são as únicas possibilidades. (Provado em [P]) Teorema 2.20. Seja X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial com X(0, 0) = (0, 0). Suponhamos que a origem é um centro para o sistema linear (2.4) com A = JX(0, 0). Então a origem pode ser um centro, um centro-foco, ou um foco para o sistema não linear (2.5). Demonstração: Podemos assumir que a matriz A = JX(0, 0) tenha sido transformada na seguinte forma canônica A = [ 0 −b b 0 com b ≠ 0. Assuma b > 0; caso contrário, podemos aplicar a transformação linear t → −t. O sistema não linear (2.6) então tem a forma Como X é diferenciável, segue que { ∣ ∣ p(x,y) r ] ẋ = −by + p(x, y) ẏ = bx + q(x, y) ∣ → 0 e ∣ ∣ q(x,y) r q = O(r) quando r → 0. Assim, em coordenadas polares temos, ṙ = O(r) e ˙θ = b + O(r) . ∣ → 0 quando r → 0; isto é, p = O(r) e quando r → 0. Por isso, existe um δ > 0 tal que ˙θ ≥ b > 0 para 0 < r < δ. Assim, 2 para 0 < r 0 < δ e θ 0 ∈ R, θ(t, r 0 , θ 0 ) ≥ bt + θ 2 0 → ∞ quando t → ∞; e θ(t, r 0 , θ 0 ) é uma função monótona crescente de t. Seja t = h(θ) a inversa desta função monótona. Defina ˜r(θ) = r(h(θ), r 0 , θ 0 ) para 0 < r 0 < δ e θ 0 ∈ R. Então ˜r satisfaz a equação diferencial (2.8) que tem a seguinte forma dr dθ = F (r, θ) = cosθp(˜rcosθ, ˜rsenθ) + senθq(˜rcosθ, ˜rsenθ) b + (cosθ/˜r)q(˜rcosθ, ˜rsenθ) − (senθ/˜r)p(˜rcosθ, ˜rsenθ) . Suponha que a origem não é um centro nem um centro-foco para o sistema (2.6). Então para δ > 0 suficientemente pequeno, não existem trajetórias fechadas de (2.6) numa determinada vizinhança N δ (0, 0) − {(0, 0)}. Assim, para 0 < r 0 ≤ δ e θ 0 ∈ R, tanto ˜r(θ 0 + 2π) < ˜r(θ 0 ) quanto ˜r(θ 0 + 2π) > ˜r(θ 0 ). Vamos assumir que o primeiro caso ocorre. O segundo caso é tratado de maneira semelhante. Se ˜r(θ 0 + 2π) < ˜r(θ 0 ) então ˜r(θ 0 + 2kπ) < ˜r(θ 0 + 2(k − 1)π) para k = 1, 2, 3, ... Por outro lado, teremos três trajetórias de (2.6) passando pelo mesmo ponto, o que é impossível. A seqüência ˜r(θ 0 + 2kπ) é monótona decrescente e limitada inferiormente 57
Page 1:
Campos de Vetores Polinomiais Plana
Page 5: Agradecimentos Ao Prof. Dr. Paulo R
Page 9: Abstract In this work we present ba
Page 12 and 13: Referências Bibliográficas 115 12
Page 14 and 15: mas logo nos convencemos da complex
Page 16 and 17: então, para 0 < a < r M que e t 0
Page 18 and 19: 1.2 Primeiros Exemplos: Campos de V
Page 20 and 21: Figura 1.4: α = β < 0, α < β <
Page 22 and 23: (ii) Se [A] B = [ λ 1 0 λ ] , ent
Page 24 and 25: Se β < 0 o campo de vetores é do
Page 26 and 27: Assim, Ẏ = P Ẋ = P [ 1 −1 −
Page 28 and 29: onde p e q são polinômios de grau
Page 30 and 31: Geometricamente, temos: Figura 1.16
Page 32 and 33: Geometricamente, temos: ( 0 x 0 , y
Page 34 and 35: para todo t ≥ 0. Ainda ϕ(t, (x,
Page 36 and 37: 1.6 Conjuntos α-limites e ω-limit
Page 38 and 39: Como τ é contínua, temos que lim
Page 40 and 41: Suponha que o campo X possua um nú
Page 42 and 43: e E U = [{u j , v j }/a j > 0] isto
Page 44 and 45: Portanto, temos que x(t) = e λ 1t
Page 46 and 47: Temos que o primeiro valor é dado
Page 48 and 49: espectivamente. Pode ser mostrado q
Page 50 and 51: Definição 2.5. Uma singularidade
Page 52 and 53: e ˙θ = 1. Assim, r(t) = r 0 (1−
Page 54 and 55: (0,0) Figura 2.8: sela topológica
Page 58 and 59: por zero; além disso, o seguinte l
Page 60 and 61: tem uma determinada vizinhança con
Page 62 and 63: onde p 2 e q 2 são polinômios e t
Page 64 and 65: Exemplo 2.28. Considere o sistema {
Page 66 and 67: C W (0) S S E = W (0) E C Figura 2.
Page 68 and 69: Quando {y ≠ 0}, (3.2) também ser
Page 70 and 71: Para θ = 0, 5880, temos: [ JX(0; 0
Page 72 and 73: Logo, temos { ˙¯x = −¯x 2 −
Page 74 and 75: 3.0.1 Blow-up Quase-homogêneo e o
Page 76 and 77: com ¯x 2 + ȳ 2 = 1. Vamos testar
Page 78 and 79: Calculando a sua matriz jacobiana,
Page 80 and 81: Consideremos o problema de Cauchy {
Page 82 and 83: Como x = rCsθ e y = r 2 Snθ, temo
Page 84 and 85: Passando este sistema de equações
Page 86 and 87: E o seu retrato de fase é dado pel
Page 88 and 89: elementares, introduzimos ŷ = ȳ
Page 90 and 91: Capítulo 4 Compactificação de Po
Page 92 and 93: Z y (x,y) x (X,Y,Z) Y X (X`,Y`,Z`)
Page 94 and 95: A equação diferencial (4.5) defin
Page 96 and 97: Figura 4.5: Projeção de S 2 nos p
Page 98 and 99: Disto concluímos que os pontos cr
Page 100 and 101: Capítulo 5 O Programa P4 O program
Page 102 and 103: utilizando a invariância do fluxo,
Page 104 and 105: senão S = [L p 1, ..., L n N p , L
Page 106 and 107:
- L p N p = [[T 1 , ..., T l , (x,
Page 108 and 109:
forma a ser o máximo de δ. Com um
Page 110 and 111:
um ponto da Esfera de Poincaré com
Page 112 and 113:
o P4 primeiro considera o campo de
Page 114 and 115:
um ciclo limite na circunferência
Page 116:
[Ne] Neumann, D. Classification of
show all

Campos de Vetores Polinomiais Planares: AnÃ¡lise ... - Unesp

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?