Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

elementares, introduzimos ŷ = ȳ − ȳ 0 , e fazemos um novo “blow-up”no eixo-x positivo para
este campo de vetores, bem como na direção do eixo-y positiva e negativa com um certo grau
(α ′ , β ′ ), determinado do Diagrama de Newton associado ao campo de vetores.
(2) Se αq d (1, ȳ) − βȳp d (1, ȳ) = 0, temos uma linha de singularidades. Como
JX + x (0, ȳ 0 ) =
(
p d (1, ȳ 0 ) 0
∗ 0
todas as singularidades são semi-hiperbólicas, exceto aquelas singularidades (0, ȳ 0 ) para as quais
p d (1, ȳ 0 ) = 0. Estas, mais tarde, irão precisar de um outro “blow-up”.
Depois faremos um “blow-up”no eixo-x negativo do campo de vetores e o estudaremos da
mesma maneira do caso positivo.
Finalmente, teremos que fazer um “blow-up”no eixo-y nas direções positiva e negativa do
campo de vetores, e determinarmos quando (0, 0) é uma singularidade ou não, desde que as
outras tenham sido estudadas nos casos anteriores.
É fácil vermos que (0, 0) é uma singularidade se γ 1 está completamente no semi-plano {r ≥
0}. Se este for o caso, então a singularidade (0, 0) é elementar. Dessa forma, fazemos um “blowup”na
direção do eixo-y positivo do campo de vetores resultando, depois de multiplicarmos por
βȳ −d ,
⎧
⎪⎨
˙¯x = ∑
¯X y δ≥d
+ =
⎪⎩
˙ȳ = ∑ δ≥d
)
ȳ δ−d (βp δ (¯x, 1) − α¯xq δ (¯x, 1))
ȳ δ+1−d q δ (¯x, 1)
Assim, (0, 0) é uma singularidade se p d (0, 1) = 0, isto é, se p d (x, y) = xF (x, y), implicando que
γ 1 está completamente no semi-plano {r ≥ 0}. Suponhamos agora que (0, 0) é uma singularidade
de ¯X y +, então temos:
J ¯X y +(0, 0) =
(
β ∂p d
Seja (0, s) a intersecção da linha γ 1 com r = 0, então
)
(0, 1) − αq ∂¯x d(0, 1) ∗
.
0 q d (0, 1)
,
.
p d (x, y) = axy s + G(x, y) e q d (x, y) = by s+1 + H(x, y)
com a 2 + b 2 ≠ 0, o grau x de G(x, y) ≥ 2 e o grau x de H(x, y) ≥ 1.
Assim,
β ∂p d
∂¯x (0, 1) − αq d(0, 1) = aβ − bα.
Então, se aβ − bα ≠ 0, temos que (0, 0) é uma singularidade elementar; se aβ − bα = 0, temos
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