Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Calculando a sua matriz jacobiana, temos
JX(r, ȳ) =
[
∂ṙ
∂r
∂ ˙ȳ
∂r
∂ṙ
∂ȳ
∂ ˙ȳ
∂ȳ
]
=
[ ]
1
3 ¯x2 2r¯x
3
.
0 −2¯x 2
Substituindo o valor da singularidade nesta matriz obtemos,
JX
(
0, √ [
1, 5 3) 1
3
=
( 3√ ]
1, 5) 2 0
0 −2( 3√ .
1, 5) 2
Logo, o retrato de fase para o sistema é dado por
Figura 3.9: retrato de fase do “blow-up”na direção do eixo-y.
Em contraste com o caso homogêneo onde estes cálculos bastariam, nós agora também
precisamos olhar para o blow-up na direção {¯x = −1}. A direção {ȳ = −1} não precisamos
analisar, pois podemos olhar para a direção {ȳ = 1} mas para r ≤ 0 que será análoga.
Na direção do eixo-x, ¯x = −1: (x, y) = (−r 2 , r 3 ȳ)
{
ẋ = y
ẏ = x 2 .
Como estamos usando a mudança (x, y) = (−r 2 , r 3 ȳ), temos também que
{
ẋ = −2rṙ
ẏ = 3r 2 ȳṙ + r 3 ˙ȳ .
Daí,
e
−2rṙ = ẋ = y = r 3 ȳ ⇒ ṙ = − r2 ȳ
2
3r 2 ȳṙ + r 3 ˙ȳ = ẏ = x 2 = r 4 ⇒ r 2 ˙ȳ = r 4 − 3r 2 ȳṙ ⇒ ˙ȳ =
(1 + 3 2ȳ2 )
r.
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