Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

sistema. A sela está localizada na origen do sistema planar (x, y) e conseqüentemente no pólo
norte da esfera; disso concluímos também que há uma outra sela no pólo sul da esfera, por ser
este o ponto antípoda, na esfera, do pólo norte.
De acordo com o Teorema 4.1, as singularidades no infinito são determinadas pelas soluções
de
Xq 1 (X, Y ) − Y p 1 (X, Y ) = X(−Y ) − Y X = −2XY = 0,
ou melhor,
cosθq 1 (cosθ, senθ) − senθp 1 (cosθ, senθ) = −2senθcosθ = 0.
Donde temos que X = cosθ = 0 e Y = senθ = ±1 ou X = cosθ = ±1 e Y = senθ = 0. Logo,
as singularidades no equador de S 2 são:
±(1, 0, 0) e ± (0, 1, 0).
Podemos ver também, diante de discussão já feita, que para pontos no equador de S 2 onde
XY > 0 devemos orientar o fluxo no sentido horário e para pontos onde XY < 0 o sentido será
anti-horário. Usando a relação X = cosθ e Y = senθ, temos que para 0 < θ < π a expressão
2
−2XY é negativa e portanto o sentido é horário; procedendo de maneira análoga, descobrimos
que o comportamento do fluxo em todo o equador de S 2 , como vemos na figura 4.5.
Figura 4.6: exemplo 4.3.
Exemplo 4.4. Determine, na esfera de Poincaré, o retrato de fase do sistema quadrático
{
ẋ = x 2 + y 2 − 1
.
ẏ = 5(xy − 1)
Usando o Teorema 4.1, temos que o comportamento no equador é dado por
Xq 2 (X, Y ) − Y p 2 (X, Y ) = X(5XY ) − Y (X 2 + Y 2 ) = Y (4X 2 − Y 2 ) = 0
e também temos que X 2 + Y 2 = 1 pois estamos sobre o equador.
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