Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

usando a substituição (x = r α¯x, y = r β ¯x). Em ambos os casos os termos não irão afetar a
posição das singularidades nem os autovalores das singularidades.
A maneira de detectar se alguma parte quase-homogênea pode ser interessante é baseada
no Diagrama de Newton.
Para introduzirmos este conceito, é mais conveniente trabalharmos com a forma dual ω ao
invés do próprio campo de vetores X. Seja
ω =
∑
a ij x i y j dx +
∑
b ij x i y j dy.
i, j ≥ 0
i + j ≥ 1
i, j ≥ 0
i + j ≥ 1
Em R 2 , o suporte de ω (que é igual ao suporte de X) é definida como
S = {(i + 1, j)/a ij ≠ 0} ∪ {(i, j + 1)/b ij ≠ 0}.
O poliedro de Newton de ω ou de X é o fecho convexo do conjunto
P =
⋃
({(r, s)} + R 2 +).
(r,s)∈S
O Digrama de Newton de X é a união γ das faces compactas γ k do Poliedro de Newton Γ,
que enumeramos da esquerda para a direita.
A “parte principal” de ω é definida por
ω ∆ =
∑
a ij x i y j dx +
∑
b ij x i y j dy.
(i+1,j)∈γ
(i,j+1)∈γ
Foi provado em [Bru] que a componente quase-homogênea determina, a menos de uma
conjugação topológica, o retrato de fase do campo original quando a origem é uma singularidade
isolada e o campo possui órbitas características, isto é, órbitas tais que a derivada do vetor
tangente possui limite quando ela se aproxima da singularidade.
Vejamos alguns exemplos de campos de vetores tendo uma componente quase-homogênea
com uma singularidade isolada
Exemplo 3.9. Consideremos o seguinte sistema de equações
{
ẋ = x 2 − 2xy
.
ẏ = y 2 − xy
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