Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

negativo. Como (ẋ, ẏ) = X(x, y) = (p(x, y), q(x, y)), temos
{
ẋ = p(x, y)
ẏ = q(x, y)
mas ele pode ser escrito na forma
{
ẋ = f(x, y)
ẏ = −αy + g(x, y)
(2.15)
onde f(0, 0) = g(0, 0) = 0.
Além disso, existe h ∈ C w (V δ (0, 0)) que define a variedade central local W C loc(0, 0) =
{(x, y)/y = h(x), |x| < δ} e satisfaz
h ′ (x)[f(x, h(x))] + αh(x) − g(x, h(x)) = 0 (2.16)
com fluxo na variedade central
Exemplo 2.30. Considere o sistema
{
ẋ = f(x, h(x)). (2.17)
ẋ = x 2 y − x 5
ẏ = −y + x 2 .
Neste caso, temos f(x, y) = x 2 y − x 5 e g(x, y) = x 2 . Vamos substituir a expansão
h(x) = ax 2 + bx 3 + o(x 4 ) e Dh(x) = 2ax + 3bx 2 + o(x 3 )
na equação (2.16) para obter
(2ax + 3bx 2 + ...)(ax 4 + bx 3 + ... − x 5 ) + ax 2 + bx 3 + ... − x 2 = 0
Fixando os coeficientes de mesmo grau de x igual a zero, segue que a − 1 = 0, b = 0, c = 0, ...
Então,
h(x) = x 2 + o(x 5 ).
Substituindo este resultado na equação (2.17), temos então
ẋ = x 4 + o(x 5 ).
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