Campos de Vetores Polinomiais Planares: AnÃ¡lise ... - Unesp

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mas logo nos convencemos da complexidade dos problemas no plano. Por exemplo, a questão da finitude do número de ciclos de sistemas polinomiais planares e o 16 o Problema de Hilbert são problemas que ainda não atingiram seu desenvolvimento definitivo. Podemos ainda relatar estudos sobre problemas relacionados à dinâmica de populações (modelo predador x presa ou o comportamento da população de virus em algum organismo) na área da biologia, além de diversos problemas na área da Física. Além da natureza intrínseca do assunto outro fator que nos fez escolhermos este tema foi a recente publicação de um artigo, escrito por Freddy Dumortier e Chris Herssens [DH], sobre um programa computacional, chamado de P4, que essencialmente possibilita a análise detalhada das singularidades e o esboço do retrato de fase de campos polinomiais planares, no Disco de Poincaré. O programa P4 foi elaborado por 4 matemáticos: Jaume Llibre e Freddy Dumortier, responsáveis pelo suporte matemático e Joan Carlos Artés e Chris Herssens, responsáveis pela elaboração do programa computacional. (Ver [DH]). Julgo ser de grande valia para o estudo o conhecimento deste programa, pois além de estudar resultados matemáticos profundos, também irei aprender a utilizar uma ferramenta computacional de grande utilidade no meu futuro como pesquisador. 14
Capítulo 1 Fundamentos da Teoria Qualitativa 1.1 Fluxos no Plano Neste capítulo apresentaremos os resultados básicos da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Como nosso intuito é chegar em um algorítimo que nos auxilie no esboço do retrato de fase de um campo polinomial, restringiremos nosso estudo à classe dos campos de vetores polinomiais planares. Para isto necessitamos de algumas definições e teoremas que desenvolveremos a seguir. Um campo de vetores polinomial em R 2 é uma aplicação X : R 2 → R 2 tal que X(x, y) = (p(x, y), q(x, y)), com p, q sendo polinômios. Uma trajetória de um campo de vetores polinomial X : R 2 → R 2 é uma curva diferenciável γ : I → R 2 definida em um intervalo real não degenerado, tal que ˙γ(t) = X(γ(t)), ∀t ∈ I. Uma trajetória maximal de um campo de vetores polinomial é uma trajetória γ : I ⊂ R → R 2 tal que, se ψ : J ⊂ R → R 2 for outra trajetória, então: J ⊂ I e γ/J = ψ. O estabelecimento da existência e unicidade de trajetórias de um problema de valor inicial é dado pelo resultado seguinte. Teorema 1.1 (Picard). Sejam (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 , r > 0, M > 0, k > 0 e X : B((x 0 , y 0 ), r) ⊂ R 2 → R 2 , satisfazendo: (a)‖X(x, y)‖ ≤ M, ∀(x, y) ∈ B((x 0 , y 0 ), r); (b)‖X(x 1 , y 1 ) − X(x 2 , y 2 )‖ ≤ k‖(x 1 , y 1 ) − (x 2 , y 2 )‖ ∀(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ B((x 0 , y 0 ), r); 15
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Page 5: Agradecimentos Ao Prof. Dr. Paulo R
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Page 32 and 33: Geometricamente, temos: ( 0 x 0 , y
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Page 38 and 39: Como τ é contínua, temos que lim
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Exemplo 2.28. Considere o sistema {
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C W (0) S S E = W (0) E C Figura 2.
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Quando {y ≠ 0}, (3.2) também ser
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Para θ = 0, 5880, temos: [ JX(0; 0
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Logo, temos { ˙¯x = −¯x 2 −
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3.0.1 Blow-up Quase-homogêneo e o
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com ¯x 2 + ȳ 2 = 1. Vamos testar
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Calculando a sua matriz jacobiana,
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Consideremos o problema de Cauchy {
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Como x = rCsθ e y = r 2 Snθ, temo
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Passando este sistema de equações
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E o seu retrato de fase é dado pel
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elementares, introduzimos ŷ = ȳ
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Capítulo 4 Compactificação de Po
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Z y (x,y) x (X,Y,Z) Y X (X`,Y`,Z`)
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A equação diferencial (4.5) defin
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Figura 4.5: Projeção de S 2 nos p
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Disto concluímos que os pontos cr
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Capítulo 5 O Programa P4 O program
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senão S = [L p 1, ..., L n N p , L
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- L p N p = [[T 1 , ..., T l , (x,
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forma a ser o máximo de δ. Com um
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um ponto da Esfera de Poincaré com
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o P4 primeiro considera o campo de
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um ciclo limite na circunferência
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[Ne] Neumann, D. Classification of
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