Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Teorema 1.12. Sejam X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial, (p, q) tal que [0, ∞) ⊂ I (p,q) ,
γ + (p,q) = {ϕ(t, (p, q)), t ≥ 0} a semi-órbita positiva do campo X pelo ponto (p, q). Se γ+ (p,q) esta
contida em K ⊂ R 2 , K compacto, então:
(a) ω(p, q) ≠ ∅;
(b) ω(p, q) é compacto;
(c) ω(p, q) é invariante por X, isto é, se (p 1 , q 1 ) ∈ ω(p, q), então a trajetória de X por (p 1 , q 1 )
esta contida em ω(p, q);
(d) ω(p, q) é conexo.
Resultado análogo pode ser obtido para α(p, q).
Indicamos [Pa] para a prova do teorema acima.
Vamos apresentar nesta seção o Teorema de Poincaré-Bendixson. Mas antes, para facilitar
a demonstração deste teorema, vamos estudar alguns lemas.
No que segue, estamos assumindo que (p, q) ∈ R 2 é tal que [0, ∞) ⊂ I (p,q) .
Lema 1.13. Sejam X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial, Σ uma secção transversal a
X e γ = {ϕ(t)} uma órbita de X. Se (p, q) ∈ Σ ∩ ω(γ), então (p, q) pode ser expresso como
limite de uma seqüência de pontos de Σ, ϕ(t), onde t n → ∞.
Demonstração: Suponhamos que γ = {ϕ(t)} = {ϕ(t, (p 1 , q 1 ))} e (p, q) ∈ Σ ∩ ω(γ).
Consideremos uma vizinhança V de (p, q) e a aplicação τ : V → R tal que τ(V ∩ Σ) = 0.
Como (p, q) ∈ ω(p, q) existe uma seqüencia (˜t n ) tal que ˜t n → ∞ e ϕ(˜t n ) → (p, q) quando
n → ∞.
~
( t n
) ( t n
)
(p,q)
V
(P ,q )
1 1
Figura 1.20: interpretação geométrica do Lema 1.13
Logo, existe n 0 ∈ N tal que ϕ(˜t n ) ∈ V , qualquer que seja n ≥ n 0 . Se t n = ˜t n + τ(ϕ(˜t n )),
qualquer que seja n ≥ n 0 , temos
ϕ(t n ) = ϕ(t n , (p 1 , q 1 )) = ϕ(˜t n + τ(ϕ(˜t n ))), (p 1 , q 1 )) = ϕ(τ(ϕ(˜t n )), ϕ(˜t n ))
e por definição de τ, temos que ϕ(t n ) ∈ Σ.
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