Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

- L p N p
= [[T 1 , ..., T l , (x, y) ↦→ (xy α , y β + y i )], 0, 0, y i , Y p , sep, type].
• Seja T l+1 : (x, y) ↦→ (x α , x β y + y i )
• Faça um “blow-up”na direção do eixo-x. Resultando no campo de vetores Y .
• Gosub II com l → l + 1.
• Faça um “blow-up”na direção do eixo-y. Resultando no campo de vetores Y n .
• Determine o comportamento de Y n perto da origem.
• Se o comportamento perto da origem é como na figura 9(a) então
- tipo 4 e sep é a linha y = x.
- N p = N p + 1.
- L p N p
= [[T 1 , ..., T l , (x, y) ↦→ (xy α , −y β + y i )], 0, 0, y i , Y p , sep, type].
• Se o comportamento da origem é como na figura 9(b) então
- tipo 3 e sep é a linha y = x.
- N p = N p + 1.
- L p N p
= [[T 1 , ..., T l , (x, y) ↦→ (xy α , y β + y i )], 0, 0, y i , Y p , sep, type].
• Volte
V. O mesmo que IV, mas primeiramente faça um “blow-up”na direção do eixo-y negativo
e depois na direção do eixo-y negativo. Troque as variáveis N p e L p N p
III.
com N n e L n N n
, e II com
2) Se os autovalores são imaginários puros, então o ponto (x 0 , y 0 ) é um foco fraco ou um centro.
Para determinar seu tipo, calcula-se as constantes de Liapunov usando a técnica atribuída
a Torregrosa [To]. No caso de um campo de vetores quadrático ou de um campo de vetores
linear somado a um homogêneo cúbico, P4 está pronto para determinar quando o ponto é um
centro, um foco fraco estável ou instável de uma certa ordem ou não. Em todos os outros casos
o P4 calcula o valor pela ausência das quatro primeiras constantes de Lyapunov. Se elas são
todas nulas o ponto é um foco fraco indeterminado, no outro caso tem-se um foco fraco estável
ou instável. O algoritmo está escrito em linguagem C então os cálculos são feitos numericamente.
Então as constantes de Lyapunov são calculadas sob uma certa precisão. Diz-se então
que a constante de Lyaponov V é nula se |V | < 10 −8 .
3) No caso dos autovalores serem complexos mas não imaginários puros, o ponto (x 0 , y 0 ) é
um foco forte estável (instável) se T r(JX (x0 ,y 0 )) < 0 (respectivamante T r(JX (x0 ,y 0 )) > 0).
Agora determinam-se as singularidades no infinito, estudando-se o campo de vetores no
Disco de Poincaré. Primeiramente transforma-se o campo de vetores usando a transformação
{
x = 1 z 2
y = z 1
z 2
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