Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Temos que o primeiro valor é dado por
ϕ 0 (t, (x, y)) = (0, 0).
Continuando o processo, podemos obter o restante dos valores substituindo
valores encontrados nas próximas iterações.
Logo,temos
ϕ (1) (t, (x, y)) =
[
e −t 0
0 0
A próxima iteração será
ϕ (2) (t, (x, y)) =
[
e −t 0
0 0
] [
] [
=
[
x
y
x
y
]
]
+
−
e −t x
0
∫ t
0
∫ ∞
t
[
[
e −(t−s) 0
=
[
]
− x 2 e t [
0 0
e −t x
0
]
]
.
ds
[
0
0
]
] [
0
ds =
e (t−s) e −2s x 2
0
e −3t
3
]
=
[
e −t x
−
−e −2t x 2
3
∫ ∞
t
e −t x
Para melhorarmos a aproximação, vamos fazer ainda mais duas iterações
ϕ (3) (t, (x, y)) =
A próxima será
[
e −t 0
0 0
] [
x
y
]
+ e−t x 4
9
∫ t
0
[
e s e −4s
[ ] [ ] [
e −t x
= + e−t x 4 −1 + e −3t
− x 2 e t
0 9.3 0
[ ] [
] [
=
e −t x
+ 1 −(e −t x 4 ) + e −4t x 4
0 27 0
−
[
]
=
e −t x + 1
27 (e−4t − e −t )x 4
.
ϕ (4) (t, (x, y)) =
[
e −t 0
0 0
] [
e −2t x 2
3
x
y
]
0
+ e−t x 4
9
0
]
.
]
[
−
[
−y 2
x 2 ]
] [
0 0
ds
0 e (t−s)
∫ ∞
] ∫ [
∞
ds − e t x 2
∫ t
0
[
0
e −3t
3
0
e −2t x 2
3
e −3s
0
]
]
]
t
t
=
=
ds−
x 2 e t [
0
e −3t
3
0
0
pelos
]
=
]
0
ds =
e −3s
]
ds =
46