Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

para todo t ≥ 0.
Ainda ϕ(t, (x, y)) intercepta Σ em uma sequência estritamente monótona de pontos (x n , y n )
que converge para (p, q).
Daí concluímos que
lim d(ϕ(t, (x, y)), γ) = 0
t→∞
Agora, se π(p 1 , q 1 ) < (p 1 , q 1 ), considere o campo −X que ficará provado que
lim d(ϕ(t, (x, y)), γ) = 0,
t→−∞
∀(x, y) ∈ A
Podemos provar de maneira análoga se tomarmos (p 1 , q 1 ) ∈ Σ 0 ∩ int(γ). Assim, combinando
estas possibilidades provamos a proposição.
Podemos observar que γ é um ciclo limite se, e somente se, (p, q) é um ponto fixo isolado
de π.
Note ainda que:
(a) γ é estável se, e somente se, |π(x, y) − (p, q)| < |(x, y) − (p, q)|, qualquer que seja
(x, y) ≠ (p, q), próximo de (p, q);
(b) γ é instável se, e somente se, |π(x, y) − (p, q)| > |(x, y) − (p, q)|, qualquer que seja
(x, y) ≠ (p, q), próximo de (p, q);
(c) γ é semi-estável se, e somente se, |π(x, y) − (p, q)| < |(x, y) − (p, q)|, qualquer que seja
(x, y) ∈ Σ ∩ ext(γ), próximo de (p, q) e |π(x, y) − (p, q)| > |(x, y) − (p, q)|, qualquer que seja
(x, y) ∈ Σ ∩ int(γ), próximo de (p, q), ou o contrário.
Figura 1.19: (a) estável; (b) instável e (c) semi-estável
O teorema que iremos apresentar agora vai estabelecer uma condição suficiente para que
uma órbita periódica seja um ciclo limite estável. Vejamos o que ele nos diz.
Teorema 1.11. Sejam X = (X 1 , X 2 ) : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial planar, γ uma
órbita periódica de X de período T e π : Σ 0 → Σ a transformação de Poincaré em uma secção
transversal Σ em (p, q) ∈ γ.
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