Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

1.2 Primeiros Exemplos: Campos de Vetores Lineares
no Plano
Nesta seção, vamos estudar, inicialmente os campos de vetores da forma X : R 2 → R 2 dados por
X(x, y) = (ax + by, cx + dy) onde a, b, c, d são constantes reais. Tais campos são denominados
Lineares.
Encontrar trajetórias de campos de vetores deste tipo é equivalente a resolver o sistema de
EDO’s lineares com coeficientes constantes
{
ẋ = ax + by
ẏ = cx + dy .
Exemplo 1.2. O sistema linear {
ẋ = 2x
ẏ = −y
tem fluxo dado por
ϕ : R × R 2 → R 2
A única singularidade é o ponto (0, 0).
ϕ(t, (x, y)) = (xe 2t , ye −t ).
Exemplo 1.3. O sistema linear {
ẋ = αx
ẏ = βy
tem fluxo dado por
ϕ : R × R 2 → R 2
ϕ(t, (x, y)) = (xe αt , ye βt ).
(i) α = 0, β > 0 ou α = 0, β < 0: neste caso o eixo 0X é composto de singularidades do sistema.
Figura 1.1: α = 0, β > 0 e α = 0, β < 0.
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