Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Geometricamente, temos:
(
0
x 0
, y )
(0,0)
Figura 1.17: Interpretação geométrica do Teorema de Grobman-Hartman
Como a demonstração deste teorema é demasiadamente extensa e além disso não é um dos
nossos objetivos neste trabalho, demos apenas uma interpretação geométrica do que ele está
dizendo. O leitor encontrará a demonstração em [Pa].
1.5 Estrutura Local de Órbitas Periódicas e Ciclos
Limites no Plano
A transformação de Poincaré associada a uma órbita fechada γ de um campo vetorial polinomial
planar X é um difeomorfismo π, o qual vamos definir mais a frente. Esta transformação descreve
o comportamento do campo X em uma vizinhança de γ.
Sejam γ = {ϕ(t, (p, q)), 0 ≤ t ≤ τ 0 } uma órbita periódica de período τ 0 de um campo
vetorial polinomial planar X e Σ uma secção transversal a X em (p, q).
Como o fluxo de X, ϕ, é contínuo, para todo ponto (p 1 , q 1 ) ∈ Σ próximo de (p, q) a trajetória
ϕ(t, (p 1 , q 1 )) está próxima à γ, com t ∈ I, com I um intervalo pré-estabelecido.
Definiremos π(p 1 , q 1 ) como sendo o primeiro ponto onde esta órbita irá interceptar Σ. Sendo
Σ 0 o domínio de π, teremos que (p, q) ∈ Σ 0 e π(p, q) = (p, q).
Muitas propriedades de X perto de γ se refletem em π. Por exemplo, as órbitas periódicas
de X próximas de γ correspondem aos pontos fixos de π, que são pontos (p 1 , q 1 ) ∈ Σ 0 para os
quais π(p 1 , q 1 ) = (p 1 , q 1 ). O comportamento assintótico das órbitas de X próximo de γ também
é descrito por π.
Assim,
lim
n→∞ πn (p 1 , q 1 ) = (p, q) ⇒ lim d(ϕ(t, (p 1 , q 1 )), γ) = 0.
t→∞
32