Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

com ¯x 2 + ȳ 2 = 1.
Vamos testar isto no campo vetorial X(x, y) = (y, x 2 ); usando a versão direcional.
Na direção do eixo-x, ¯x = 1: (x, y) = (r 2 , r 3 ȳ)
{
ẋ = y
ẏ = x 2 .
Como estamos usando a mudança (x, y) = (r 2 , r 3 ȳ), temos também que
{
ẋ = 2rṙ
ẏ = 3r 2 ȳṙ + r 3 ˙ȳ .
Daí,
e
2rṙ = ẋ = y = r 3 ȳ ⇒ ṙ = r2 ȳ
2
3r 2 ȳṙ + r 3 ˙ȳ = ẏ = x 2 = r 4 ⇒ r 2 ˙ȳ = r 4 − 3r 2 ȳṙ ⇒ ˙ȳ =
(1 − 3 2ȳ2 )
r.
Logo, o novo sistema fica {
ṙ = r2 ȳ
2
˙ȳ = ( 1 − 3 2ȳ2) r .
E como o campo de vetores é de grau 2, dividimos por r e encontramos o sistema
{
ṙ = rȳ 2
˙ȳ = 1 − 3 2ȳ2 .
As singularidades deste sistema são: (0, − √ 0, 6) e (0, √ 0, 6).
E calculando a sua matriz jacobiana, temos
JX(r, ȳ) =
[
∂ṙ
∂r
∂ ˙ȳ
∂r
∂ṙ
∂ȳ
∂ ˙ȳ
∂ȳ
]
=
[
ȳ
2
r
2
0 −3ȳ
]
.
Agora, substituindo os valores das singularidades nesta matriz temos,
JX
(
0, − √ [
)
0, 6 =
−2 √ 0, 6 0
0 3 √ 0, 6
]
e JX
(
0, √ [
)
0, 6 =
2 √ 0, 6 0
0 −3 √ 0, 6
]
.
Assim, temos o seguinte retrato de fase para o sistema
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