Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Disto concluímos que os pontos críticos no infinito são:
(±1, 0, 0), ± 1 √
5
(1, 2, 0) e ± 1 √
5
(1, −2, 0).
Também temos que para X = 0 a quantidade acima é negativa se Y > 0 e positiva se Y < 0,
com isso podemos orientar o equador de S 2 .
1
De acordo com o Teorema 4.2 o comportamento dos pontos críticos (1, 0, 0), √5 (1, 2, 0) e
1√
5
(1, −2, 0) é determinado segundo o comportamento dos pontos críticos do sistema
{
ẏ = 4y − 5z 2 − y 3 = yz 2
ż = −z − zy 2 + z 3
os quais são (0, 0), (2, 0) e (−2, 0), respectivamente. Examinando o comportamento destes
pontos, segundo o Teorema de Grobman-Hartman, temos
( )
( )
4 0
−8 0
JX(0, 0) =
e JX(±2, 0) =
.
0 −1
0 −5
Como o comportamento de cada ponto crítico no equador de S 2 é topologicamente equivalente,
a menos de orientação, ao respectivo ponto descrito acima e usando a observação feita de que
para sistemas de grau par os pontos antípodas têm orientação reversa, temos que o sistema
original apresenta comportamento semelhante ao descrito na figura 4.6 como segue
Figura 4.7: exemplo 4.4.
Resumindo, para estendermos algo no infinito para um disco de Poincaré, essencialmente
usamos
( cosθ
(x, y) =
z
, senθ )
,
z
e multiplicamos o campo de vetores resultante por s m−1 , onde m é o grau do campo de vetores.
E é esta descrição que utilizaremos no programa P4.
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