Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

A equação diferencial (4.5) define uma família de trajetórias ou um fluxo em S 2 . Cada trajetória
no hemisfério superior de S 2 definida por (4.5) corresponde a exatamente uma trajetória
do sistema (4.2) em R 2 .
Mais ainda, o fluxo na Esfera de Poincaré definido por (4.5) nos permite estudar o comportamento
do fluxo definido por (4.2) no infinito, isto é, podemos estudar o fluxo definido por
(4.5) nas vizinhanças do equador de S 2 .
O equador de S 2 consiste de trajetórias regulares e singularidades de (4.5). Isso segue do
fato de que para Z = 0 em (4.5), temos
(Y p ∗ − Xq ∗ )dZ = 0
donde temos os seguintes casos
(Y p ∗ − Xq ∗ ) ≠ 0 ⇒ dZ = 0. (4.7)
Neste caso temos uma trajetória regular no equador de S 2 .
Y p ∗ − Xq ∗ = 0. (4.8)
Teremos as singularidades de (4.5) no equador de S 2 onde Z = 0.
Observamos que o que caracteriza uma singularidade é a nulidade das coordenadas em
relação à base {dX, dY, dZ}.
Se
p(x, y) = p 1 (x, y) + ... + p m (x, y)
e
q(x, y) = q 1 (x, y) + ... + q m (x, y),
onde p j e q j são polinômios homogêneos de grau j em x e y, então
Y p ∗ − Xq ∗ =
( X
= Z m Y p 1
Z , Y )
( X
+ ... + Z m Y p m
Z
Z , Y ) ( X
− Z m Xq 1
Z
Z , Y )
( X
− ... − Z m Xq m
Z
Z , Y )
=
Z
= Z m−1 Y p 1 (X, Y ) + ... + Y p m (X, Y ) − Z m−1 Xq 1 (X, Y ) − ... − Xq m (X, Y ) =
= Y p m (X, y) − Xq m (X, Y ).
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