Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

3.0.1 Blow-up Quase-homogêneo e o Diagrama de Newton
Definição 3.3. Um campo de vetores X : R 2 → R 2 satisfaz a Desigualdade de Lojasiewicz em
(0, 0) se
em alguma vizinhança de (0, 0).
∃k ∈ N ∗ e ∃c > 0 tal que ‖X(x, y)‖ ≥ c‖(x, y)‖ k
Um campo de vetores analítico sempre satisfaz a Desigualdade de Lojasiewicz em uma
singularidade isolada.
Conforme [Du], foi provado que se X satisfaz uma Desigualdade de
Lojasiewicz, então existe uma seqüência finita de “blow-ups”produzindo um campo de vetores
¯X n com todas as singularidades elementares.
Como estamos trabalhando com campos polinomiais, todas as conclusões acima são satisfeitas.
Além disso, a posição e as propriedades das singularidades mencionadas acima dependem
somente de um jato finito de X.
O “blowing-up locus”é dividido em um número finito de zonas, as quais, depois de um
“blow-down”, proporcionam uma decomposição de uma vizinhança da singularidade em setores
hiperbólicos (ou selas), setores elípticos e setores parabólicos do tipo atratores ou repulsores.
Figura 3.7: setor hiperbólico, setor elíptico e setor parabólico.
Na figura 3.7 temos uma representação topológica dos possíveis setores.
As linhas invariantes C ∞ na fronteira destes setores, incluindo a singularidade, são chamadas
órbitas características (ou linhas características), as quais tendem para a singularidade com uma
inclinação bem definida quando o tempo tende para +∞ ou −∞.
As linhas C ∞ tendo um contato finito com o “blowing-up locus”dão origem a linhas características
de tipo finito; isto significa que as linhas características possuem uma parametrização
C ∞ , γ : [0, ɛ) → R 2 com j r γ(0, 0) ≠ (0, 0) para algum r ∈ N.
Apesar do método do “blow-up”sucessivo ser eficiente no estudo das singularidades isoladas,
apresentaremos um método que revela-se mais eficiente no momento da implementação
computacional: o “blow-up”quase-homogêneo.
Definição 3.4. Uma função f : R 2 → R é chamada de quase-homogênea do tipo (α, β) ∈ N 2
e grau k se
f(r α x, r β y) = r k f(x, y), ∀r ∈ R
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