Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Um “blow-up”na direção do eixo-y não vai gerar nenhuma singularidade em {y = 0}; na
verdade, as singularidades (assim como seus autovalores) dependem somente do 1-jato não
nulo, portanto em ẋ = y.
vamos tomar {
Nós iremos realizar um “blow-up”na direção do eixo-x, ou seja,
x = ¯x
y = ȳ¯x .
Vamos encontar então ˙¯x e ˙ȳ a partir desta mudança.
Assim,
˙¯x = ẋ = y = ¯xȳ
e
Logo, temos
˙ȳ = ẏx − y ˙¯x
x 2
= x + y − y2
x 2 = ¯x + ¯xȳ − ȳ2 .
{
˙¯x = ¯xȳ
˙ȳ = ¯x + ¯xȳ − ȳ 2 .
Vamos analisar as singularidades. Para ȳ = 0, temos que ¯x = 0 e para ¯x = 0 temos que ȳ = 0.
Portanto a única singularidade é (0, 0). Assim,
[ ]
J ¯X(0, 0 0
0) =
1 0
e os autovalores são λ 2 − 0 = 0 o que implica em λ = 0. Mostrando que a singularidade não é
elementar.
Como a singularidade não é hiperbólica (com uma possível redução à variedade central)
vamos realizar um “blow-up”extra para estuda-la. Com um “blow-up”na direção do eixo-x não
obteremos singularidades. Vamos então fazer um “blow-up”na direção do eixo-y, tomando
{
¯x = ȳ¯x
.
ȳ = ȳ
Vamos encontar então ˙¯x e ˙ȳ a partir desta mudança.
Assim,
˙ȳ = ˙ȳ = ¯x + ¯xȳ − ȳ 2 = ȳ¯x + ȳ 2¯x − ȳ 2
e
˙¯x = ˙¯xȳ − ¯x ˙ȳ = ȳ¯xȳ − ȳ¯x(¯x + ¯xȳ − ȳ 2 )
ȳ 2 ȳ 2
= −¯x 2 − ȳ¯x 2 + 2ȳ¯x.
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