Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

e calcula o valor de seus autovalores λ 1 e λ 2 . Ele distingue diferentes casos, dependendo quando
ambos os autovalores são reais, ambos os autovalores são imaginários puros ou quando ambos
os autovalores são complexos.
1) λ 1 e λ 2 são reais. Se λ 1 e λ 2 tem o mesmo sinal, então (x 0 , y 0 ) é um nó estável (instável)
e está resolvido o problema. Se eles tem sinais diferentes, então (x 0 , y 0 ) é uma sela, e ele calcula
uma aproximação de Taylor de ordem n das variedades estável e instável como segue.
Considere as transformações {
¯x = x − x 0
ȳ = y − y 0
e {
¯x = w 11 u + w 21 v
ȳ = w 12 u + w 22 v
com (w 11 , w 12 ) ( respectivamente (w 21 , w 22 )) um autovetor associado ao autovalor λ 1 (respectivamente
λ 2 ).
Usando estas transformações ele obtem o campo de vetores
{
˙u = λ 1 u + p(u, v)
˙v = λ 2 v + q(u, v)
(5.1)
com gr p ≥ 2 e gr q ≥ 2. Escrevendo as variedades invariantes como um gráfico (u, f(u)) e
usando a invariância do fluxo, resultará em
f(u) =
n∑
a i u i + o(u n ), (5.2)
i=2
com
a i =
b i
, i = 2, ..., n
(iλ 1 − λ 2 )
onde b i é o coeficiente de u i na expressão q(u, f(u)) − f ′ (u)p(u, f(u)). A variedade (v, g(v)) é
calculada de forma análoga.
Se λ 1 = 0 e λ 2 ≠ 0 então a singularidade (x 0 , y 0 ) é semi-hiperbólica. Neste caso existe uma
variedade central que é tangente à linha v 2 (x − x 0 ) − v 1 (y − y 0 ) = 0, com (v 1 , v 2 ) um autovetor
associado ao autovalor nulo. Para calcular a variedade central, ele simplifica o campo de vetores
da mesma forma que no caso da sela. Então o novo campo de vetores satisfaz
{
˙u = p(u, v)
˙v = λ 2 v + q(u, v)
(5.3)
com gr p ≥ 2 e gr q ≥ 2. Ele escreve a variedade central como um gráfico de (u, f(u)), e
101