Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Portanto, temos que x(t) = e λ 1t x 0 + ∫ t
0 eλ 1(t−s) φ(x(s), y(s))ds é realmente uma solução de (2.3).
Vamos verificar agora que y(t) = e λ 2t y 0 + ∫ t
0 eλ 2(t−s) ψ(x(s), y(s))ds também é uma solução do
sistema (2.3).
y(t) = e λ 2t y 0 +
= e λ 2t y 0 +
∫ t
0
= e λ 2t y 0 + e λ 2t
Derivando y(t) em relação a t, temos:
∫ t
0
e λ 2(t−s) ψ(x(s), y(s))ds =
e λ 2t e −λ 2s ψ(x(s), y(s))ds =
∫ t
0
e −λ 2s ψ(x(s), y(s))ds.
ẏ(t) = λ 2 e λ 2t y 0 + e λ 2t e −λ 2t ψ(x(t), y(t)) + λ 2 e λ 2t
∫ t
0
e −λ 2s ψ(x(s), y(s))ds =
Isto é,
= λ 2 e λ 2t y 0 + ψ(x(t), y(t)) + λ 2 e λ 2t
= λ 2 (e λ 2t y 0 + e λ 2t
∫ t
0
∫ t
0
e −λ 2s ψ(x(s), y(s))ds =
e −λ 2s ψ(x(s), y(s))ds) + ψ(x(t), y(t)) =
∫ t
)
= λ 2
(e λ1t y 0 + e λ2(t−s) ψ(x(s), y(s))ds +ψ(x(t), y(t)).
}
0
{{ }
y(t)
ẏ(t) = λ 2 y(t) + ψ(x(t), y(t)).
Portanto, temos que y(t) = e λ 2t y 0 + ∫ t
0 eλ 2(t−s) ψ(x(s), y(s))ds é solução de (2.3).
Afirmação: Se (x(t), y(t)) é uma solução contida em W S então
y(t) = −
∫ ∞
t
e λ 2(t−s) ψ(x(s), y(s))ds.
De fato, se (x(t), y(t)) ∈ W S então y(t) → 0 quando t → ∞. Assim,
‖y(t)‖ = ‖e λ 2t y 0 +
= ‖e λ 2t ‖‖y 0 +
∫ t
∫ t
0
0
e λ 2(t−s) ψ(x(s), y(s))ds‖ =
e −λ 2s ψ(x(s), y(s))ds‖ =
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