Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Capítulo 3
Blow-up Polar e Blow-up Direcional
No estudo das singularidades existe uma técnica poderosa, o “blow-up”. O “blow-up”é utilizado
quando temos singularidades não elementares, isto é, quando ambos os autovalores são nulos e
o princípio de redução ao comportamento central não se aplica. Ele também serve para estudar
pontos fixos de difeomorfismos, mas vamos apresentar essencialmente para singularidades de
campos de vetores.
Seja X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial com X(0, 0) = (0, 0). Consideremos a
aplicação
Φ : S 1 × R → R 2
(θ, r) ↦→ (rcosθ, rsenθ).
Então podemos definir um campo de vetores ˆX em S 1 × R com Φ ∗ ( ˆX) = X, de modo que
DΦ ∗ ( ˆX(θ, r)) = X(Φ(θ, r)). Isto é chamado de pull back de X por Φ. Não é nada mais do que
X escrito em coordenadas polares. Se o k-jato (polinômio de Taylor de ordem k) j k (X(0, 0)) é
zero, então j k ( ˆX(θ, 0)) = (0, 0) para qualquer (θ, 0) ∈ S 1 × {0}.
Na prática, contudo, em vez de utilizarmos coordenadas polares, usamos o chamado “blowup”direcional.
Na direção do eixo-x:
(¯x, ȳ) → (¯x, ȳ¯x) denotado por ˆX x . (3.1)
Na direção do eixo-y:
(¯x, ȳ) → (¯xȳ, ȳ) denotado por ˆX y . (3.2)
Quando {x ≠ 0}, (3.1) é o mesmo que o “blow-up”polar, a menos de uma mudança analítica
de coordenadas: θ ≠ π 2 , 3π 2 .
(θ, r) → (rcosθ, tgθ) → (rcosθ, tgθrcosθ) = (rcosθ, rsenθ).
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