Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Figura 3.8: retrato de fase do “blow-up”na direção do eixo-x.
Na direção do eixo-y, ȳ = 1: (x, y) = (r 2¯x, r 3 )
{
ẋ = y
ẏ = x 2 .
Como estamos usando a mudança (x, y) = (r 2¯x, r 3 ), temos também que
{
ẋ = 2rṙ¯x + r 2 ˙¯x
ẏ = 3r 2 ṙ
.
Daí,
e
3r 2 ṙ = ẏ = x 2 = (r 2¯x) 2 = r 4¯x 2 ⇒ ṙ = r2¯x 2
2r¯xṙ + r 2 ˙¯x = ẋ = y = r 3 ⇒ r 2 ˙¯x = r 3 − 2r¯xṙ ⇒ ˙¯x =
3
(1 − 2 3 ¯x3 )
r 3 .
Logo, o novo sistema fica {
ṙ = r2¯x 2
3
˙¯x = ( 1 − 2 3 ¯x3) r 3 .
Dividindo outra vez por r, encontramos
{
ṙ = r¯x2
3
˙¯x = 1 − 2 3 ¯x3 .
A singularidade deste sistema é : (0; 3√ 1, 5).
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