Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

onde p e q são polinômios de grau m qualquer.
Equivalentemente, queremos estudar o comportamento das soluções do sistema autônomo
{
ẋ = p(x, y)
ẏ = q(x, y) .
Alguns casos particulares podem ser resolvidos explicitamente. No entanto, não existe nenhum
método geral de solução como no caso linear.
1.3 O Teorema do Fluxo Tubular
Nesta seção veremos que o esboço do retrato de fase é trivial numa vizinhança de um ponto
regular. Assim podemos concentrar nossa atenção no estudo em vizinhanças de singularidades.
Definição 1.4. Dado (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 , uma secção transversal local (STL) de X em (x 0 , y 0 ), de
classe C k , é uma aplicação diferenciável ξ : A → R 2 de classe C k tal que A ⊆ R é aberto, 0 ∈ A,
ξ(0) = (x 0 , y 0 ) e [ξ ′ (t)] ⊕ [X(ξ(t))] = R 2 , ∀t ∈ A.
Definição 1.5. Dois campos de vetores polinomiais X, Y definidos em U, V ⊂ R 2 , com U, V
sendo abertos, são ditos topologicamente equivalentes quando existir um homeomorfismo h :
U → V que leva órbitas de X em órbitas de Y preservando a orientação. Se denotarmos ϕ e ψ
os fluxos de X e Y , respectivamente, dizemos que h é uma conjugação topológica entre X e Y
se
h(ϕ(t, (x, y))) = ψ(t, h(x, y)).
Vamos enunciar e demonstrar um lema que será utilizado na demonstração do nosso próximo
teorema:
Lema 1.6. Se (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 é um ponto regular de um campo vetorial polinomial X, então
existe uma STL de X em (x 0 , y 0 ).
Demonstração: Sejam (x 0 , y 0 ) = v 0 ≠ (0, 0) e π = [v 0 ] ⊥ .
Como dimπ = 1, existe um isomorfismo
s : R → π
de modo que a transformação
T : R → R 2 ,
T (y) = (x 0 , y 0 ) + s(y)
é de classe C ∞ e é um homeomorfismo sobre sua imagem T (R) = (x 0 , y 0 ) + π.
28