Campos de Vetores Polinomiais Planares: AnÃ¡lise ... - Unesp

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Z y (x,y) x (X,Y,Z) Y X (X`,Y`,Z`) Figura 4.3: Projeção Central do hemisfério superior de S 2 sobre o plano (x, y). Essas equações estabelecem uma correspondência biunívoca entre os pontos (X, Y, Z) do hemisfério superior de S 2 , onde Z > 0, e os pontos (x, y) do plano. A origem (0, 0) ∈ R 2 corresponde ao polo norte (0, 0, 1) ∈ S 2 ; pontos no círculo x 2 + y 2 = 1 correspondem a pontos no círculo X 2 + Y 2 = 1 onde Z = √ 1 2 2 ; e os pontos no infinito do R 2 correspondem aos pontos no equador de S 2 . Figura 4.4: Secção da Esfera. Quaisquer dois pontos antípodas (X, Y, Z) e (X ′ , Y ′ , Z ′ ) pertencentes a S 2 , que não estão no equador, correspondem ao mesmo ponto (x, y) ∈ R 2 . É por essa razão que consideramos quaisquer dois pontos antípodas no equador de S 2 como sendo oriundos do mesmo ponto no infinito. Consideremos um fluxo definido por um sistema dinâmico em R 2 { ẋ = p(x, y) (4.2) ẏ = q(x, y) onde p e q são funções polinomiais de x e y. Seja m o grau máximo de p e q. Esse sistema pode ser escrito como uma equação diferencial 92
da forma ou ainda dy dx = q(x, y) p(x, y) q(x, y)dx − p(x, y)dy = 0. (4.3) Observe que, em virtude de termos eliminado o tempo, as duas últimas equações fazem com que percamos a direção do fluxo ao longo das trajetórias de (4.2), pois as informações relativas ao tempo são perdidas. Segue então de (4.1) que dx = ZdX − XdZ Z 2 e dy = ZdY − Y dZ Z 2 . (4.4) Logo, temos que (4.3) pode ser escrito como q(ZdX − XdZ) − p(ZdY − Y dZ) = 0 onde e ( X p = p(x, y) = p Z , Y ) Z ( X q = q(x, y) = q Z , Y ) . Z Com o objetivo de eliminar Z dos denominadores, multiplicamos toda a equação acima por Z m e obtemos Zq ∗ dX − Zp ∗ dY − (Y p ∗ + Xq ∗ )dZ = 0 (4.5) onde e ( X p ∗ (X, Y, Z) = Z m p Z , Y ) Z ( X q ∗ (X, Y, Z) = Z m q Z , Y ) Z são polinômios em (X, Y, Z). Essa equação pode ser escrita na forma de um determinante, como segue dX dY dZ X Y Z = 0. (4.6) ∣ p ∗ q ∗ 0 ∣ 93
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Campos de Vetores Polinomiais Plana
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Agradecimentos Ao Prof. Dr. Paulo R
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Abstract In this work we present ba
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mas logo nos convencemos da complex
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1.2 Primeiros Exemplos: Campos de V
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(ii) Se [A] B = [ λ 1 0 λ ] , ent
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Se β < 0 o campo de vetores é do
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Assim, Ẏ = P Ẋ = P [ 1 −1 −
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para todo t ≥ 0. Ainda ϕ(t, (x,
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1.6 Conjuntos α-limites e ω-limit
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Como τ é contínua, temos que lim
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Suponha que o campo X possua um nú
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