Campos de Vetores Polinomiais Planares: AnÃ¡lise ... - Unesp

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elementares, introduzimos ŷ = ȳ − ȳ 0 , e fazemos um novo “blow-up”no eixo-x positivo para este campo de vetores, bem como na direção do eixo-y positiva e negativa com um certo grau (α ′ , β ′ ), determinado do Diagrama de Newton associado ao campo de vetores. (2) Se αq d (1, ȳ) − βȳp d (1, ȳ) = 0, temos uma linha de singularidades. Como JX + x (0, ȳ 0 ) = ( p d (1, ȳ 0 ) 0 ∗ 0 todas as singularidades são semi-hiperbólicas, exceto aquelas singularidades (0, ȳ 0 ) para as quais p d (1, ȳ 0 ) = 0. Estas, mais tarde, irão precisar de um outro “blow-up”. Depois faremos um “blow-up”no eixo-x negativo do campo de vetores e o estudaremos da mesma maneira do caso positivo. Finalmente, teremos que fazer um “blow-up”no eixo-y nas direções positiva e negativa do campo de vetores, e determinarmos quando (0, 0) é uma singularidade ou não, desde que as outras tenham sido estudadas nos casos anteriores. É fácil vermos que (0, 0) é uma singularidade se γ 1 está completamente no semi-plano {r ≥ 0}. Se este for o caso, então a singularidade (0, 0) é elementar. Dessa forma, fazemos um “blowup”na direção do eixo-y positivo do campo de vetores resultando, depois de multiplicarmos por βȳ −d , ⎧ ⎪⎨ ˙¯x = ∑ ¯X y δ≥d + = ⎪⎩ ˙ȳ = ∑ δ≥d ) ȳ δ−d (βp δ (¯x, 1) − α¯xq δ (¯x, 1)) ȳ δ+1−d q δ (¯x, 1) Assim, (0, 0) é uma singularidade se p d (0, 1) = 0, isto é, se p d (x, y) = xF (x, y), implicando que γ 1 está completamente no semi-plano {r ≥ 0}. Suponhamos agora que (0, 0) é uma singularidade de ¯X y +, então temos: J ¯X y +(0, 0) = ( β ∂p d Seja (0, s) a intersecção da linha γ 1 com r = 0, então ) (0, 1) − αq ∂¯x d(0, 1) ∗ . 0 q d (0, 1) , . p d (x, y) = axy s + G(x, y) e q d (x, y) = by s+1 + H(x, y) com a 2 + b 2 ≠ 0, o grau x de G(x, y) ≥ 2 e o grau x de H(x, y) ≥ 1. Assim, β ∂p d ∂¯x (0, 1) − αq d(0, 1) = aβ − bα. Então, se aβ − bα ≠ 0, temos que (0, 0) é uma singularidade elementar; se aβ − bα = 0, temos 88
que q d (0, 1) = b ≠ 0, e que (0, 0) também é uma singularidade elementar. Em [Pel] foi provado que o algorítimo, como apresentado aqui, é mais eficiente que o usual. Utilizando o programa P4 podem ser estudadas as singularidades no infinito, além das singularidades existentes nas partes compactas do R 2 . No próximo capítulo vamos descrever como um campo de vetores polinomial pode ser estudado no infinito. 89
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Campos de Vetores Polinomiais Plana
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Agradecimentos Ao Prof. Dr. Paulo R
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Abstract In this work we present ba
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Referências Bibliográficas 115 12
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mas logo nos convencemos da complex
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então, para 0 < a < r M que e t 0
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1.2 Primeiros Exemplos: Campos de V
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(ii) Se [A] B = [ λ 1 0 λ ] , ent
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Se β < 0 o campo de vetores é do
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Assim, Ẏ = P Ẋ = P [ 1 −1 −
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onde p e q são polinômios de grau
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Geometricamente, temos: Figura 1.16
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Geometricamente, temos: ( 0 x 0 , y
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1.6 Conjuntos α-limites e ω-limit
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Page 116: [Ne] Neumann, D. Classification of
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