Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

um ponto da Esfera de Poincaré com Z > 0, e seja (θ, ϕ) uma coordenada esférica do ponto,
isto é, X = cosθsenϕ, Y = senθsenϕ e Z = cosϕ.
Se 0 ≤ ϕ ≤ π 4 transformamos o ponto para o plano real, isto é, considera-se o ponto ( X Z , Y Z )
e integra-se o campo de vetores original. Se ϕ > π então considera-se os 4 casos seguintes
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(i) Se − π ≤ θ ≤ π, considera-se o ponto (z 4 4 1, z 2 ) = ( Y
, ) Z
X X e integra-se o campo de vetores
{
z˙
1 = z2(−z d 1 p( 1 z 2
, z 1
z 2
) + q( 1 z 2
, z 1
z 2
))
z˙
2 = −z2 d+1 p( 1 z 2
, z 1
z 2
)
. (5.7)
(ii) Se π ≤ θ ≤ 3π, considera-se o ponto (z 4 4 1, z 2 ) = ( X
, ) Z
Y Y e integra-se o campo de vetores
{
z˙
1 = z2(p( d z 1
z 2
, 1 z 2
) − z 1 q( z 1
z 2
, 1 z 2
))
z˙
2 = −z2 d+1 p( z 1
z 2
, 1 z 2
)
. (5.8)
(iii) Se 3π 4
(iv) Se 5π 4
≤ θ ≤ 5π 4 , considera-se o ponto (z 1, z 2 ) = ( Y
X , Z X
)
e integra-se o campo de vetores
{
z˙
1 = (−1) d−1 z2(−z d 1 p( 1 z 2
, z 1
z 2
) + q( 1 z 2
, z 1
z 2
))
z˙
2 = (−1) d z2 d+1 p( 1 z 2
, z 1
z 2
)
. (5.9)
≤ θ ≤ 7π, considera-se o ponto (z 4 1, z 2 ) = ( X
, ) Z
Y Y e integra-se o campo de vetores
{
z˙
1 = (−1) d−1 z2(p( d z 1
z 2
, 1 z 2
) − z 1 q( z 1
z 2
, 1 z 2
))
z˙
2 = (−1) d z2 d+1 p( z 1
z 2
, 1 z 2
)
. (5.10)
O modelo de singularidades, tanto as finitas como as infinitas, juntamente com as separatrizes,
darão uma boa idéia do retrato de fase global (ver [Ma] e [Ne]). É claro que não vê-se o
número exato e a localização das órbitas fechadas, mas tem-se a região em que os ciclos limites
ou anéis de órbitas fechadas podem ocorrer. Se tem-se a impressão de que órbitas fechadas ou,
especialmente, ciclos limites vão ocorrer, pode-se pedir ao P4 para localizar estes ciclos limites
como segue. Primeiramente devemos selecionar dois pontos x e y. Estes dois pontos devem
estar próximos à região onde pretende-se encontrar ciclos limites, e a linha L conectando ambos
os pontos deve cortar o ciclo limite esperado. O P4 tenta determinar o ciclo limite como segue.
Primeiro ele divide a linha em segmentos [p i , p i+1 ] de comprimento h e começamos integrando
pelo último segmento da linha L até o primeiro. Toda órbita próxima ao ciclo limite supostamente
corta a linha L outra vez. Desta forma, detecta-se a existência do ciclo limite quando
encontra-se uma mudança na aplicação retorno de Poincaré. O P4 detecta tal mudança como
segue. Suponha que a integração começa de um ponto p i em L, e que a órbita corta a linha L
outra vez em um ponto q i com p i < q i . O P4 toma agora o ponto p j mais próximo de q i com
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