Campos de Vetores Polinomiais Planares: AnÃ¡lise ... - Unesp

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Geometricamente, temos: Figura 1.16: interpretação geométrica do Teorema do Fluxo Tubular Demonstração: Dados X : R 2 → R 2 e (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 um ponto regular, sabemos pelo Lema 1.6, que existe ξ : A → R 2 uma STL de X em (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 . Seja 0 ∈ C ⊆ A, um aberto e limitado, com C ⊆ A. Então ξ(C) ⊆ R 2 é compacto e podemos encontrar um intervalo 0 ∈ J ⊆ R tal que J × ξ(C) ⊆ Ω X de modo que a aplicação H : J × C, H(s, y) = ϕ(s, ξ(y)) está bem definida e é de classe C k , com H(0, 0) = ϕ(0, ξ(0)) = (x 0 , y 0 ). Além disso, e como temos que Logo, o que significa que ∂H ∂ϕ (0, 0) = ∂s ∂t (0, (x 0, y 0 )) = X(x 0 , y 0 ) H(0, y) = ϕ(0, ξ(y)) = ξ(y), ∀y ∈ C ∂H ∂y (0, 0) = ξ′ (0). H ′ (0, 0)(λ, v) = λX(x 0 , y 0 ) + ξ ′ (0)v ImH ′ (0, 0) = [X(x 0 , y 0 )] + Im(ξ ′ (y)) = R 2 , 30
ou seja, H ′ (0, 0) : R × R → R 2 é uma transformação linear sobrejetiva, e portanto um isomorfismo. Do Teorema da Aplicação Inversa decorre que H é um difeomorfismo de classe C ∞ em (0, 0), isto é, existem um intervalo I = (−δ, δ) ⊆ J ⊂ R, uma vizinhança 0 ∈ B ⊆ C ⊆ A ⊂ R e uma vizinhança W 0 de (x 0 , y 0 ) em R 2 tal que h : I × B → W 0 definida pela restrição h(s, y) = H(s, y) é um difeomorfismo de classe C k . Daí, temos que: h(0, 0) = (x 0 , y 0 ), h(0, y) = ξ(y), h({0} × B) = ξ(B). Agora como temos que h conjuga X e Y . h ′ (s, y)Y (s, y) = H ′ (s, y)(1, 0) = ∂H ∂s ∂ϕ (s, y) = (0, ξ(y)) = ∂t = X(ϕ(s, ξ(y))) = X(h(s, y)), ∀(s, y) ∈ I × B 1.4 Estrutura Local dos Pontos Singulares Hiperbólicos: Teorema de Grobman-Hartman Pelo Teorema do Fluxo Tubular, sabemos que existe um difeomorfismo (de classe C r ) que conjuga X em uma vizinhança de um ponto regular (x 0 , y 0 ) com o campo constante Y = (1, 0). Daí, dois campos X e Y são localmente conjugados em torno de pontos regulares. Por esse motivo, temos um conhecimento satisfatório das órbitas de um campo vetorial polinomial planar em torno dos pontos regulares, visto que existe apenas uma classe de conjugação diferencial local. Se (x 0 , y 0 ) é uma singularidade, a situação é bem mais complicada. Vamos então analisar nesta seção as singularidades hiperbólicos, isto é, os pontos onde todos os autovalores da JX(x 0 , y 0 ) tem parte real diferente de 0 e também o Teorema de Grobman-Hartman: Teorema 1.8 (Grobman-Hartman). Seja X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial e (x 0 , y 0 ) um ponto singular hiperbólico. Então existem V ⊂ R 2 , com (x 0 , y 0 ) ∈ V e W ∈ R 2 , com (0, 0) ∈ W tal que X/V é topologicamente equivalente a JX(x 0 , y 0 )/W . 31
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o P4 primeiro considera o campo de
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um ciclo limite na circunferência
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[Ne] Neumann, D. Classification of
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