Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

1.6 Conjuntos α-limites e ω-limites de uma Órbita: O
Teorema de Poincaré-Bendixson
Sejam X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial e ϕ(t) = ϕ(t, (p, q)) a trajetória de X
passando pelo ponto (p, q) definida no seu intervalo maximal I (p,q) = (ω − (p, q), ω + (p, q)).
Se ω + (p, q) = ∞, definimos o conjunto
ω(p, q) = {(p 1 , q 1 ) ∈ R 2 ; ∃(t n ), t n → ∞ e ϕ(t n , (p, q)) → (p 1 , q 1 ), n → ∞}
como sendo o conjunto ω-limite de (p, q).
Se ω − (p, q) = −∞, definimos o conjunto
α(p, q) = {(p 1 , q 1 ) ∈ R 2 ; ∃(t n ), t n → −∞ e ϕ(t n , (p, q)) → (p 1 , q 1 ), n → ∞}
como sendo o conjunto α-limite de (p, q).
Observemos que, em termos de α-limites e ω-limites, podemos definir os ciclos no plano
como as órbitas periódicas que são α-limites ou ω-limites de todas as trajetórias passando por
pontos suficientemente próximos.
No entanto, se γ (p,q) é a órbita de X pelo ponto (p, q) e (p 1 , q 1 ) ∈ γ (p,q) então ω(p, q) =
ω(p 1 , q 1 ).
De fato,
(p 1 , q 1 ) ∈ γ (p,q) ⇒ ∃c ∈ R : ϕ(t, (p 1 , q 1 )) = ϕ(t + c, (p, q)).
Da mesma forma, temos que α(p, q) = α(p 1 , q 1 ).
Daí, temos que o conjunto ω-limite de uma órbita fechada γ é o conjunto ω(p, q), para
qualquer (p, q) ∈ γ e o conjunto α-limite de uma órbita γ é o conjunto α(p, q), para qualquer
(p, q) ∈ γ.
Notemos que se ϕ(t) = ϕ(t, (p, q)) é a trajetória do campo vetorial polinomial X pelo ponto
(p, q) e se ψ(t) = ψ(t, (p, q)) é a trajetória do campo vetorial polinomial −X pelo ponto (p, q),
temos que ψ(t, (p, q)) = ϕ(−t, (p, q)).
Logo, temos que
ω-limite de ϕ(t) = α-limite de ψ(t)
ω-limite de ψ(t) = α-limite de ϕ(t).
Por isso iremos restringir nosso estudo das propriedades gerais dos conjuntos α-limites e ω-
limites ao conjunto ω-limite. Faremos isto para facilitar e enunciar o teorema que vem a seguir
de uma forma mais resumida.
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