Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Como τ é contínua, temos que
lim ϕ(t n) = lim ϕ(τ(ϕ(˜t n )), ϕ(˜t n )) = ϕ(0, (p, q)) = (p, q)
n→∞ n→∞
pois,
ϕ(˜t n ) → (p, q) e τ(ϕ(˜t n )) → τ(p, q) = 0, n → ∞.
Lema 1.14. Sejam X : R 2 → R 2 um campo vetorial polinomial e Σ uma secção transversal a
X. Se γ é uma órbita de X e (p, q) ∈ Σ ∩ γ, então γ + (p,q)
= {ϕ(t, (p, q)); t ≥ 0} intercepta Σ
numa seqüência monótona (p 1 , q 1 ), (p 2 , q 2 ), ..., (p n , q n ), ....
Demonstração: Seja D = {t ∈ R + , ϕ(t, (p, q)) ∈ Σ}. Como D é discreto (pelo Teorema do
Fluxo Tubular), podemos ordenar o conjunto
D = {0 < t 1 < t 2 < ... < t n < ...}.
Seja (p 1 , q 1 ) = (p, q). Definamos, caso exista, (p 2 , q 2 ) = ϕ(t, (p 1 , q 1 )). Por indução, definiremos
(p n , q n ) = ϕ(t n−1 , (p, q)).
Se (p 1 , q 1 ) = (p 2 , q 2 ), então γ é uma trajetória fechada de período τ = t 1 , e (p, q) = (p n , q n ),
para todo n.
Se (p 1 , q 1 ) ≠ (p 2 , q 2 ), digamos (p 1 , q 1 ) < (p 2 , q 2 ) e se existir (p 3 , q 3 ) vamos mostrar que
(p 3 , q 3 ) > (p 2 , q 2 ).
De fato, vamos então orientar Σ conforme a figura 1.21(a). Observemos que devido ao fato
de Σ ser conexo e pela continuidade do campo X, as órbitas de X cruzam a secção sempre no
mesmo sentido, digamos da esquerda para a direita, conforme a figura 1.21(b).
(a)
(b)
Figura 1.21: (a) orientação de Σ, (b) órbitas de X cruzando Σ.
Como em R 2 vale o Teorema da Curva Fechada de Jordan, que diz o seguinte: ”Se J é uma
curva fechada, contínua e simples (J é a imagem homeomorfa de um círculo), então R 2 /J tem
duas componentes conexas; S i (limitada) e S e (não-limitada), as quais tem J como fronteira comum”,
consideremos então a Curva de Jordan formada pela união do segmento (p 1 , q 1 )(p 2 , q 2 ) ⊂
Σ com o arco (p1 , q̂
1 )(p 2 , q 2 ) da órbita, temos que (p1 , q̂
1 )(p 2 , q 2 ) = {ϕ(t, (p 1 , q 1 )); 0 < t ≤ t 1 },
da figura 1.22.
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