Campos de Vetores Polinomiais Planares: AnÃ¡lise ... - Unesp

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forma a ser o máximo de δ. Com uma escolha apropriada de (α, β) encontra-se apenas singularidades elementares no infinito. Para simplificar os cálculos ele prefere trabalhar com cartas. Primeiramente transforma-se o campo de vetores usando a transformação ⎧ ⎨ ⎩ x = 1 z α 2 y = z 1 z β 2 Com isso obtem-se o campo de vetores (depois de multiplicar o resultado por αz c 2) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ∑ z˙ 1 = z2 c (z2 −δ (αq(1, z 1 ) − βz 1 p δ (1, z 1 )) δ≤c ∑ z˙ 2 = −z2 c+1 (z2 −δ p δ (1, z 1 )) δ≤c . . (5.5) Se αq c (1, z 1 )−βz 1 p c (1, z 1 ) ≢ 0, então o ponto (z 1 , 0) que satisfaz αq c (1, z 1 )−βz 1 p c (1, z 1 ) = 0 são singularidades no infinito de X. Estes pontos são estudados da mesma forma que nos casos finitos. Nos casos em que αq(1, z 1 ) − βz 1 p δ (1, z 1 ) ≡ 0, a linha no infinito é uma linha de singularidades. Para estudar o comportamento “no infinito” dividi-se o campo de vetores por z 2 e estuda-se este campo de vetores na linha z 2 = 0. Depois transforma-se o campo de vetores usando a transformação ⎧ ⎨ ⎩ x = −1 z α 2 y = z 1 z β 2 Com isso obtem-se o campo de vetores (depois de multiplicar o resultado por αz c 2) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ∑ z˙ 1 = z2 c (z2 −δ (αq(−1, z 1 ) + βz 1 p δ (−1, z 1 )) δ≤c ∑ z˙ 2 = −z2 c+1 (z2 −δ p δ (−1, z 1 )) Este campo de vetores pode ser estudado da mesma forma que o anterior. δ≤c Finalmente consideremos as duas transformações ⎧ ⎨ ⎩ x = 1 z α 2 y = z 1 z β 2 . . (5.6) 108
e ⎧ ⎨ ⎩ x = −1 z α 2 y = z 1 z β 2 . Para estes dois campos de vetores é necessário somente determinar quando o ponto (0, 0) é uma singularidade ou não, desde que os outros tenham sido estudados nas duas primeiras cartas. Neste estágio pode-se já desenhar uma grande parte do retrato de fase do campo de vetores. Primeiro desenha-se as separatrizes invariantes da seguinte maneira. No caso das singularidades serem uma sela ou uma sela-nó, utiliza-se a aproximação de Taylor da variedade invariante até encontrar-se a fronteira de um círculo de raio ɛ, para um certo ɛ ≥ 0. A partir deste ponto, integra-se as separatrizes com o método de Runge-Kutta de ordens 7 e 8. Para prevenir um “overflow”numérico na aproximação de Taylor, normaliza-se os campos de vetores (5.1) e (5.3) antes de calcular a aproximação de Taylor como segue. Seja a o maior coeficiente em valor absoluto do campo de vetores. Reescalona-se o tempo de tal forma que este coeficiente se torne igual a 1000.sign(a). No começo da integração numérica das separatrizes tem-se um erro que vem da aproximação de Taylor. Tomamos ɛ = 0, 01 e uma ordem de aproximação n = 6. Então tem-se um erro de ordem 10 −14 . Para o programa ter certeza que este erro não é tão grande, faz-se um teste para decidir quando a aproximação de Taylor “aproxima-se”da variedade invariante real ou não. Seja f(t) a aproximação de Taylor da variedade invariante, que é tangente a linha v = 0. Suponha que t 2 1 + f(t 1 ) 2 = ɛ 2 e considere o ponto (ih, f(ih)), ( i = ) 1, ..., 100, com h = t 1 /100. Considere o ângulo α i = arctg( f(ih)) ˙ e β i = arctg ˙v(ih,f(ih)) , i = 1, ..., 100. Se ‖α ˙u(ih,f(ih)) i − β i ‖ < 10 −18 , ∀i = 1, ..., 100, aceita-se a aproximação de Taylor, caso contrário, calcula-se a aproximação de Taylor de uma ordem maior e faz-se o teste outra vez. Tomamos por ordem máxima n = 20. Neste caso, o erro é de ordem 10 −42 . Este teste funciona muito bem para as variedades estável e instável, mas para a variedade central pode falhar as vezes, especialmente se o autovalor não nulo, em valor absoluto, é grande. Se a singularidade é não elementar, dividi-se o ponto em diversas singularidades elementares. Para cada um destes pontos desenha-se a variedade invariante (que corresponde a uma separatriz da singularidade não elementar) como segue. Primeiro utiliza-se a aproximação de Taylor na carta do “blow-up”que corresponde a singularidade elementar, a uma distância ɛ da singularidade. Então estende-se a separatriz nesta carta por integração numérica, a uma distância 1 da singularidade. Depois estende-se, por integração numérica, para o plano real. O número de passos tem que ser decidido de um modo interativo pelo usuário. Para prevenir um “overflow”numérico quando o programa tiver integrando o campo de vetores, nem sempre integra-se o campo de vetores no plano real e projeta-se na Esfera de Pincaré, ele utiliza cartas diferentes para cobrir a Esfera de Poincaré, como segue. Seja (X, Y, Z) 109
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Campos de Vetores Polinomiais Plana
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Agradecimentos Ao Prof. Dr. Paulo R
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Abstract In this work we present ba
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Referências Bibliográficas 115 12
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mas logo nos convencemos da complex
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então, para 0 < a < r M que e t 0
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1.2 Primeiros Exemplos: Campos de V
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Figura 1.4: α = β < 0, α < β <
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(ii) Se [A] B = [ λ 1 0 λ ] , ent
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Se β < 0 o campo de vetores é do
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Assim, Ẏ = P Ẋ = P [ 1 −1 −
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onde p e q são polinômios de grau
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Geometricamente, temos: Figura 1.16
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Geometricamente, temos: ( 0 x 0 , y
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para todo t ≥ 0. Ainda ϕ(t, (x,
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1.6 Conjuntos α-limites e ω-limit
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Como τ é contínua, temos que lim
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Suponha que o campo X possua um nú
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e E U = [{u j , v j }/a j > 0] isto
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Portanto, temos que x(t) = e λ 1t
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Temos que o primeiro valor é dado
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espectivamente. Pode ser mostrado q
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Definição 2.5. Uma singularidade
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e ˙θ = 1. Assim, r(t) = r 0 (1−
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(0,0) Figura 2.8: sela topológica
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isto é, θ = tg −1 ( 3 ± √ )
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