Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

p j > q i e começa a integração na mesma direção. Se esta órbita corta L em um ponto q j com
q j < p j então existe um ciclo limite entre os pontos q i e q j . Tomamos h = 10 −4 . É claro que,
desta forma, a única coisa que podemos dizer é que em uma região de comprimento 10 −4 existe
pelo menos um ciclo limite. As vezes é possível que o P4 não encontre nenhum ciclo limite. A
razão é que nestes casos a aplicação retorno de Poincaré é muito próxima da identidade.
No caso em que estuda-se o campo de vetores em um Disco de Poincaré-Liapunov de grau
(α, β), o P4 desenha as órbitas do campo de vetores como segue
y
X
1
Figura 5.3: representação do disco de Poincaré-Liapunov de grau (α, β).
Seja (x, y) ∈ R 2 . Se x 2 + y 2 ≤ 1, então (x, y) vai ser esboçada no interior do círculo
unitário em torno da origem, por integração do campo de vetores original (é claro que fazendo
a análise detalhada das singularidades finitas como apresentadas no caso da Compactificação
de Poincaré). Se x 2 + y 2 > 1, o P4 faz a seguinte transformação, x = cosθ/r α e y = senθ/r β ,
para esboçar no anel limitado pelos ciclos limites de raio 1 e pelos ciclos no infinito, integrando
o campo de vetores (5.4), para estender a informação próximo das singularidades. Infelizmente,
órbitas cruzando o círculo de raio 1 dão a impressão de terem uma derivada descontínua. Isto é
devido ao fato do programa P4 estar usando duas transformações diferentes que não se encaixam
no caminho diferenciável no circulo unitário.
5.1 Tratamento dos exemplos
Vamos considerar o campo de vetores
X :
{
ẋ = y
ẏ = −x − y(1 + 2x) .
Primeiro o programa P4 estuda este campo de vetores no Disco de Poincaré. Assim, a origem é
uma singularidade do campo de vetores que é um foco estável forte. Para o estudo no infinito,
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