Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

onde fizemos Z = 0 na última passagem, donde temos também que
X 2 + Y 2 = 1.
Desse modo, para Z = 0, X = cosθ e Y = senθ, (4.8) é equivalente a
senθp m (cosθ, senθ) − cosθq m (senθ, cosθ) = 0.
Fica então provado o seguinte resultado visto em [Pe].
Teorema 4.1. As singularidades no infinito de um sistema polinomial de grau m ocorrem nos
pontos (X, Y, 0) sobre o equador da esfera X 2 + Y 2 = 1 e
Y p m (X, y) − Xq m (X, Y ) = 0, (4.9)
ou equivalentemente em coordenadas polares, teremos que encontrar ângulos θ tais que
G m+1 (θ) = senθp m (cosθ, senθ) − cosθq m (senθ, cosθ) = 0. (4.10)
Esta equação tem m + 1 pares de raízes θ j e θ j + π se G m+1 não for identicamente nulo.
Se G m+1 não é identicamente nulo, então o fluxo no equador da Esfera de Poincaré é orientado
no sentido anti-horário se, quando escrito em coordenadas polares, a função G m+1 é tal que
G m+1 (θ) > 0 e caso G m+1 (θ) < 0 a orientação será no sentido horário.
O comportamento das singularidades no equador da esfera, ou seja, das singularidades “no
infinito,” pode ser determinado projetando a vizinhança deste ponto num plano tangente a S 2
por este ponto. Na realidade, é necessário projetar apenas o hemisfério com X > 0 sobre o
plano X = 1 e projetar o plano Y > 0 sobre o plano Y = 1 para determinar o comportamento
do fluxo em tal singularidade. Isto acontece porque o fluxo em S 2 definido pela equação (4.5)
é topologicamente equivalente em pontos antípodas de S 2 se m é ímpar e é topologicamente
equivalente, com a direção do fluxo invertida, se m é par.
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