Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

Como x = rCsθ e y = r 2 Snθ, temos que
{
ẋ = ṙCsθ + r(−Snθ) ˙θ
ẏ = 2rṙSnθ + r 2 Cs 3 θ ˙θ .
Agora, substituindo estes valores de ẋ e ẏ que acabamos de encontrar nos valores que tinhamos
antes, já substituindo (x, y) por (rCsθ, r 2 Snθ), obtemos o seguinte sistema
{
−r 2 Snθ = ṙCsθ − rSnθ ˙θ
r 3 Cs 3 θ = 2rṙSnθ + r 2 Cs 3 θ ˙θ .
Vamos encontrar ṙ e ˙θ. Para encontrarmos ṙ multiplicamos a primeira equação acima por rCs 3 θ
e a segunda por Snθ. Já para encontrarmos ˙θ multiplicamos a primeira equação por −2rSnθ
e a segunda equação por Csθ. Fazendo isso temos o seguinte sistema
{
rṙ = 0
˙θ = r
Dividindo ambas as equações por r, obtemos a relação
{
.
ṙ = 0
˙θ = 1 .
Se usássemos, (x = rcosθ, y = r 2 senθ), iríamos encontrar
{
(cos 2 θ + 2sen 2 θ)ṙ = −r 2 cosθsen 3 θ
r 2 (cos 2 θ + 2sen 2 θ) ˙θ = r 3 (2sen 2 θ + cos 4 θ) .
Multiplicando por (cos 2 θ + 2sen 2 θ) e dividindo por r encontramos:
{
ṙ = 2sen 2 θ + cos 4 θ
˙θ = −rcosθsen 3 θ
Este campo de vetores também não possui singularidades em r = 0 mas é mais complicado do
que o obtido na redução anterior.
Para usarmos (x = rcosθ, y = rsenθ) introduziríamos singularidades e necessitaríamos de
“blow-up”sucessivos.
Nos dois exemplos a parte quase-homogênea é determinada de modo que o retrato de fase do
“blow-up”não se altera quando adicionarmos termos de “grau maior”, onde o grau é calculado
.
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