Campos de Vetores Polinomiais Planares: Análise ... - Unesp

por senθ e a segunda equação por −cosθ. Assim, obtemos o sistema
{ ˙θ = cosθsenθ(3senθ − 2cosθ)
ṙ = (cos 3 θ − 2cos 2 θsenθ − cosθsen 2 θ + sen 3 θ)r .
Vamos analisar as singularidades. As singularidades com r = 0 estão localizados em θ =
0, π 2 , π, 3π 2 e tgθ = 2 3 .
De fato, quando r = 0, temos
θ = 0, π ⇒ cos0sen0(3sen0 − 2cos0) = 0
θ = π 2 , 3π 2 ⇒ cos π 2 sen π 2 (3sen π 2 − 2cos π 2 ) = 0
θ ≠ 0, π, π 2 , 3π 2
senθ
⇒ cosθsenθ(3senθ − 2cosθ) = 0 ⇒ 3senθ = 2cosθ ⇒ = tgθ = 2.
cosθ 3
Agora, como tgθ = 2 , temos que os valores destes ângulos, em radianos, são: θ = 0, 5880 ou
3
θ = 3, 7295.
O autovalor relacionado à direção r é dito radial e à direção θ angular. Eles são obtidos
encontrando a matriz jacobiana JX(r, θ), para todos os valores de θ obtidos de (3.1) e (3.2) e
com r = 0 anteriores. Vamos calcular, primeiramente JX(0, θ) e depois substituímos os valores
de θ que temos:
=
[
JX(0, θ) =
[
∂ṙ
∂r
∂ ˙θ
∂r
∂ṙ
∂θ
∂ ˙θ
∂θ
cos 3 θ − 2cos 2 θsenθ − cosθsen 2 θ + sen 3 θ 0
]
=
0 −3sen 3 θ + 6cos 2 θsenθ + 4cosθsen 2 θ − 2cos 3 θ
]
.
Para θ = 0, temos:
Para θ = π 2 , temos:
JX(0, 0) =
JX
[
[
(
0, π )
=
2
1 0
0 −2
1 0
0 −3
]
.
]
.
Para θ = π, temos:
JX(0, π) =
[
−1 0
0 2
]
.
Para θ = 3π 2 , temos:
JX
(
0, 3π 2
) [
=
−1 0
0 3
]
.
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