Campos de Vetores Polinomiais Planares: AnÃ¡lise ... - Unesp

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Definição 2.5. Uma singularidade (x 0 , y 0 ) do sistema não linear (ẋ, ẏ) = X(x, y), (x, y) ∈ R 2 (2.5) é chamada de poço se todos os autovalores da matriz JX(x 0 , y 0 ) tem parte real negativa; é chamada de fonte se todos os autovalores da matriz JX(x 0 , y 0 ) tem parte real positiva; e é chamada de sela se JX(x 0 , y 0 ) tem um autovalor com parte real positiva e um autovalor com parte real negativa. Agora, vamos definir o conceito topológico de sela para o sistema não linear (2.5) com (x, y) ∈ R 2 e mostrar que se (x 0 , y 0 ) é uma singularidade hiperbólica de (2.5) então ele é uma sela topológica se, e somente se, é uma sela de (2.5); isto é, uma singularidade hiperbólica (x 0 , y 0 ) é uma sela topológica para (2.5) se, e somente se, a origem é uma sela para (2.4) com A = JX(x 0 , y 0 ). Podemos refinar a classificação dos poços do sistema não linear (2.5) para nós estáveis e focos, e podemos mostrar que uma singularidade hiperbólica (x 0 , y 0 ) é um nó estável ou um foco para o sistema (2.5) se, e somente se, ele é respectivamente um nó estável ou um foco para o sistema linear (2.4) com A = JX(x 0 , y 0 ). Similarmente, uma fonte de (2.5) pode ser tanto um nó instável quanto um foco de (2.5) como definiremos abaixo. Finalmente, definiremos centros e centro-focos para o sistema não linear (2.5) e mostraremos que com a adição de termos não lineares o centro do sistema linear (2.4) pode se tornar um centro, um centro-foco, uma sela ou um foco instável de (2.5). Vamos então dar definições geométricas precisas para um centro, um centro-foco, um foco estável e instável, um nó estável e instável e para uma sela topológica de um sistema não linear { ẋ = p(x, y) ẏ = q(x, y) . (2.6) Vamos assumir que (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 é uma singularidade isolada do sistema (2.6) que foi transladada para a origem. As soluções do sistema não linear ou seja, dr dθ { ṙ = p(rcosθ, rsenθ)cosθ + q(rcosθ, rsenθ)senθ r ˙θ = q(rcosθ, rsenθ)cosθ − p(rcosθ, rsenθ)senθ = F (r, θ) = r[p(rcosθ, rsenθ)cosθ + q(rcosθ, rsenθ)senθ] q(rcosθ, rsenθ)cosθ − p(rcosθ, rsenθ)senθ serão denotadas por r(t, r 0 , θ 0 ) e θ(t, r 0 , θ 0 ), com r(0) = r 0 e θ(0) = θ 0 . (2.7) (2.8) Escrevendo o sistema de equações diferenciais (2.7) em coordenadas polares vamos revelar 50
a natureza da singularidade na origem. Isto é ilustrado pelos três exemplos seguintes Exemplo 2.6. Escreva o sistema { ẋ = −y − xy ẏ = x + x 2 em coordenadas polares. Para r > 0 temos, ṙ = xẋ + yẏ r = −xy − x2 y + xy + x 2 y r = 0 e ˙θ = xẏ − yẋ r 2 = x2 + x 3 + y 2 + xy 2 r 2 = 1 + x > 0 para x > −1. Assim, ao longo de qualquer trajetória deste sistema no semi-plano x > −1, r(t) é constante e θ(t) cresce sem limite quando t → ∞. Isto é, o retrato de fase numa vizinhança da origem é um centro para este sistema não linear. Exemplo 2.7. Considere o sistema { ẋ = −y − x 3 − xy 2 ẏ = x − y 3 − x 2 y em coordenadas polares. Para r > 0 temos, ṙ = −r 3 e ˙θ = 1. Assim, r(t) = r 0 (1 + 2r0t) 2 −1/2 para t > −1/(2r0) 2 e θ(t) = θ 0 + t. Vemos que r(t) → 0 e θ(t) → ∞ quando t → ∞. O retrato de fase para este sistema não linear em uma vizinhança da origem é um foco estável. Exemplo 2.8. Considere o sistema { ẋ = −y + x 3 + xy 2 ẏ = x + y 3 + x 2 y em coordenadas polares. Para r > 0 temos, ṙ = r 3 51
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